“精神實體”：小學數學教學價值的新視角

有幸在一次小學數學特級教師論壇上聽到孫曉天教授作了一場題為《關于數學課程走向的思考》的精彩報告，報告中闡述了對課程改革所面臨的目標價值取向的思考，提出數學教學的目標有兩個，即“精神實體”和“實體”。這個觀點來自弗賴登塔爾的學說，認為“精神實體”比“實體”更加重要。如果我們從這個角度進一步審視數學課程的目標價值，就會發現數學課程內容對于兒童來說只是一個實體，我們更要引導兒童去觸摸、感受實體背后的精神實體，也只有讀出數學課程內容的“精神實體”，才能讓兒童體悟到數學課程的博大與美妙。

第一，“精神實體”是相對于“物質實體”存在的。從哲學的角度審視，精神是永恒的存在，是相對于物質存在的，它是無形的實體，并透過有形顯現自己，體驗自己，內在的我們同屬于這個精神實體，是這個精神實體的一部分，并具有這個精神實體的全部屬性。思想不是精神實體的全部，而是精神實體于有形中的投影和顯現。正如對樹的描述永遠不是樹本身一樣，無論思想對精神實體的描述多么逼真，它也永遠不是精神實體。數學內容中的精神實體是相對數學內容本身存在的，它是數學的根本，是數學的靈魂，它指引著數學內容的本質內涵與脈絡趨向。

第二，兒童學習數學的本質，更多的應該是理解數學內容的“精神實體”。弗賴登塔爾認為，數學教育應該尊重數學的傳統，按照歷史的本來面目，根據數學的發展規律來進行。那么兒童眼中的數學是什么？他們也許會感覺到：“1”能概括世間萬物，這是多么石破天驚的事！a+b=b+a，看似簡單的等式卻包含了萬千加法算式的規律等等。由此看來，數學的產生與發展本身就是一個數學化的過程，是由“物質實體”向“精神實體”發展的過程，兒童在認知結構的完善過程中不斷觸摸數學的本質，從而走入數學內容的“精神實體”之中。

第三，兒童理解數學的“精神實體”，就是他們渴望經歷體驗的過程。在弗賴登塔爾看來，人們總是希望兒童自己會運用數學知識來為具體問題建造新的數學模型，應該說，數學教育的目標就在于使兒童學會主動進行“數學地思考”。人類智慧的推進，同時也促進了數學的發展，如果能讓兒童經歷數學創生、發展和更新的過程，引導兒童回歸數學本身，回歸數學方法、思想、精神等層面，著力孕育兒童數學的眼光和素養，著力體會那銘刻于心的“推理方法、研究方法、數學思維、數學精神”等等，對于兒童的終身發展將受益無窮。

數學課堂追求“精神實體”的教學主張是數學課堂的必然歸宿，也是數學教育價值的根本體現。那么，怎樣才能更好地實踐“精神實體”的教學思想呢？筆者以為，不妨可以從以下三個方面進行嘗試。

一、讓兒童觸摸數學知識中的“精神實體”——向兒童展現數學結果的本來面目

建構主義學習理論認為，學習是兒童主動的建構活動，學習應與一定的情境相聯系。基于這種教學理念，很多教師總喜歡在課堂上營造一些數學教學情境，但這種情境一般過于注重數學知識的外在形式，很少觸及數學知識的本質。而數學知識的本質是一種過程，更是一種創造，是一種積淀，更是一種傳承，是一種自由，更是一種矛盾。它不是隨心所欲的編造，也不是任意一個個體的規定，更多的是一種結構的生長與完善。

當兒童在閱讀數學知識、習得數學技能時，他們的內心世界是多么渴望知道數學知識的來源！他們迫切地希望了解數學知識的本來面目，探索數學知識存在的原因是什么，產生的過程又是怎樣的，從而觸摸到數學的“精神實體”。因而我們的數學課堂應該竭力讓兒童觸及數學概念的本質，感受來源，體驗產生過程，感受數學的博大與前人的情懷。兒童在這種數學情境的熏染下，會更加洞悉數學的本來面目，更能啟迪兒童的數學智慧。

【案例1】用數對確定位置

師：同學們，這節課我們從游戲開始，注意看這個圖。你能描述一下小球的位置嗎？

師：如果是下面這種情況，怎樣確定它的位置呢？（生用多種方式進行描述）

師：能否用一種統一的方法來確定小球的位置呢？（生討論得出：注上列、行的標志）

師：其實數學還需要想象，我們可以把這些圓形看成一個個小點。

師：如果再用線把這些點串連起來，不就是一張網格圖嗎？為了更加科學，再把表示列與行的起點畫出來，形成了一個完整的列行網格圖。

師：左下角有個點，能用數字表示嗎？為什么是0？（起點、原點）

師：現在你能用列與行描述任意一點的位置嗎？

參閱不同版本教材對這一內容的編排，年級各不相同，內容卻大同小異，都選擇了以座位圖作為情境引入。而張奠宙教授認為：“笛卡爾發現解析幾何是數學上一個巨大的進步，也是人類歷史上一個重大的進步。一個幾何的對象，他可以用數來描寫，而數所滿足的關系就是方程。我們小學里面先學第一步，就是把坐標建立起來。”從“精神實體”的教學主張來思考，應該體現“用數對確定位置”的真正價值，思考數對思想的核心要素，讓兒童感受“用數對確定位置”產生的過程。這里的產生過程并不是簡單的數學故事的堆積，而是對數對產生的背景、思想、原理、價值等要素的感觸。本節課的教學，沒有循規蹈矩創設生活情境，而是直接在兒童心中建立數對的“精神實體”——坐標原型，感受數對的數學原貌，感受數對與坐標圖的關系，從而讓學生的理解更加逼近數對思想的本質，明白數對的起源，掌握數對的核心價值，進而上升到對數對“精神實體”的認識。

二、讓兒童觸摸過程體驗中的“精神實體”——向兒童呈現數學成長的高遠價值

既要關注兒童數學學習的結果，也要關注兒童的學習過程，幫助兒童積累豐富的數學活動經驗，這已成為很多教師的共識。但兒童在數學學習過程中所獲得的經驗，更多的是在教師的指令下完成的，表面看兒童的確經歷了一個自主探究的過程，但他們常常對這一過程是怎樣發生的“毫不知情”。應該說兒童的主動體驗過程是不可或缺的，我們不僅僅要讓他們經歷這些過程，還要向他們充分呈現過程的價值，通過過程的展示感受到其中所蘊含的“精神價值”。

1.多元審視過程價值

當我們面對每一個數學內容時，應該置身于兒童的學習環境，從兒童的視角去思考問題，分析這一內容在兒童知識體系中的地位和價值，需要理解和掌握到何種程度，會遇到怎樣的困惑和障礙，對以后的數學學習可能產生怎樣的影響，給思想方法的體悟留下怎樣的痕跡等等。因此，我們在準備教學過程時，應該引導兒童去體驗知識的發展脈絡，挖掘歷史上產生這種數學知識的思想根源，從而進行適度的知識結構的擴張。

【案例2】認識圓周率

教學這一內容時，教師通常會讓學生先測量幾個大小不同的圓片的周長和直徑，并計算出它們的比值，在此基礎上，提示“這個比值”是固定不變的數，這個數就叫做圓周率。但學生測量下來誤差總是很大。

而祖沖之等數學先輩們并不是采用這樣的方法把圓周率的值精確到7位小數的，現代科技已經能夠應用計算機把圓周率的值計算到上億位小數，這一過程又有著怎樣的變化呢？帶著這些問題，我讓學生去主動理解、探究圓周率的本質，充分挖掘這一內容的教學價值。事實證明，這樣的挖掘，可能比單純的告訴與簡單的動手測量更有意義。

2.適度提升活動經驗

數學活動經驗是數學學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識，它留給兒童的是不太嚴謹的、缺乏明晰結構的體系，但對于兒童理解數學的“精神實體”卻有著莫大的作用。適度提升學生在數學活動中的基本經驗，既能加深對數學知識和規律的理解，更有利于兒童的思維產生實質性的飛躍。

【案例3】異分母加減法

先讓學生自主探究■+■的計算方法，聯系舊知嘗試練習后，體驗探究過程：

（1）展示學生資源，體驗過程方法。學生的方法有：①把分數轉化為小數進行計算；②利用圓形圖片進行等分涂色計算出結果；③轉化為同分母進行計算；④同時進行反例判斷，■+■=■，對嗎？

⑵利用精彩資源，比較方法實質。師：剛才我們把■和■轉化成圖形，還可以通分成同分母分數，仔細觀察一下，它們之間有聯系嗎？引出轉化的方法。

⑶及時延伸資源，體驗方法價值。你能用這樣的方法來解決■-■和■+■嗎？在計算方法的比較中，引出異分母加減法的核心方法。

數學知識的習得必須經歷一個平衡、不平衡、平衡的過程，如果直接從平衡跳到平衡，會讓兒童對數學知識的推導過程處于一種被接受的狀態，他們不會去思考“為什么這樣做”“這樣做有什么價值”“還能怎樣做”，原有的知識結構與新知之間并沒有合理對接。上面的教學過程讓兒童充分理解異分母加減法用通分方法的緣由，通過活動經驗的積累、過程方法的體悟，認識到轉化思想的巨大作用及多種表現形式，讓兒童獲取可生長的知識結構、可再生的認知結構，使得知識技能的習得成為體驗過程的附加值，而不是“終極目標”。

3.巧妙延伸探究方向

數學問題的研究總是隨著研究的驅動而不斷引向深入，從而觸摸到數學的本質。如果在教學過程中能夠緊緊抓住問題的本質進行合理的拓展與延伸，不僅可以有效激發學生的好奇心與求知欲，更能啟發兒童自覺投入積極的思維，融數學意識、數學傳統和數學思維于一體，對于兒童感悟數學思想方法后的“精神實體”有著獨特的作用。

【案例4】找規律“一一間隔”

在教學時，教師一般引導學生通過觀察、分析、思考、交流等活動，發現“一一間隔”的現象及規律，再進行一些規律的應用與變式練習，我們還可以思考這一規律的“精神實體”是什么。“一一間隔”排列的兩種物體數量之間通常存在三種關系：A比B多1，A比B少1，A與B相等。為什么會有這樣的三種關系？可以引導學生進一步思考：是不是所有這樣的現象中都藏著這樣的規律呢？再通過擺小棒和棋子等操作活動（不限首尾相等）來驗證這一規律。在驗證過程中，再進行追問：①思考在怎樣的情形之下，會有這些關系？②為什么會有這樣的規律？當兒童運用“一一對應”的思想描述數學間的關系時，就更接近問題的本質，更能體悟到數學思想的價值。在品味體驗的過程中，兒童逐漸理解“一一間隔”規律背后隱藏的數學思想與基于思想認識上的“精神實體”，也讓課堂教學顯得有寬度、有廣度，更有深度。

三、讓兒童觸摸數學思維中的“精神實體”——向兒童顯現數學思考的真正內涵

數學的本質是要學會數學地思維，我們在數學學習的過程中要不斷激發兒童的思維，將他們的思考引向深入，向“通過數學學會思維”的方向發展，關注兒童數學思維中的“精神實體”，讓學習與思考相隨，讓方法與精神同存，及時優化思維方式，在思維中體會數學的巨大力量，直抵數學的本質。

【案例5】認識整億數

師：同學們，最后我們再來做一個“變數游戲”。這兒有一個數字卡片2，如果放到數位順序表這個位置，表示多少？

生：2000000000。（師對準數位順序表板書）

師：你們能像老師這樣放一放，變出一個數嗎？看誰變得多。

師：思考一下，同樣一個2，為什么會變出這么多不同的數？（展示若干不同的過程與答案）

生：在不同的數位上表示的大小也不同。

師：數學上一共有10個數字，如果這10個數字放到這么多的數位上，能組成多少個數呢？

生：無數個數。

師：這正是數字的奇妙之處，也是數學的奧秘所在。

師：剛才放了這么多數，最大的數是200000000000，除了千億，我們知道還有比它更大的計數單位，但你們有沒有想過計數單位除了“個”外，會不會還有比“個”更小的呢？

生：我覺得應該有。

認數背后有“精神實體”嗎？認數的本質是什么？兒童為什么要認數呢？為什么要有計數單位呢？十進制的原理價值在哪兒？劉加霞老師指出學習自然數的兩個核心價值：進制和位值制。回歸精神思想層面，不難發現位值原理是認數到億級數的核心所在。同一個數字，由于它在所寫的數里的位置不同，所表示的“位置值”也不同。案例中巧妙的變數游戲讓學生初步感受到位值原理的價值，感受到數學的神奇與偉大，計數單位的左延與右拓，給予學生思考的空間，從精神的源頭賦予探索的方向。兒童主動將思維的觸角指向數學的背后，努力去思考數學知識中所蘊藏的價值力量，感受到“認數實體”后的精妙的“精神實體”。

數學有一種“自我生長”的力量，客觀、冷峻、嚴密，仿佛不依靠人類的探索，而是一直守候在那里，等著被人們發現。我們的數學課堂就應該讓兒童去感知數學那特有的眼光和素養，回歸數學的思想、方法、精神等特質上來，觸摸數學的“精神實體”，并讓這種“精神實體”永駐心間。

（張祖潤，常州市實驗小學，213003）

責任編輯：宣麗華