應用等價無窮小巧解考研高等數學試題

摘 要：在考研高等數學試題當中，“極限”知識點所占考核比重逐年提升，對考生考試成績有著決定性的影響。掌握“極限”知識點的相關計算方法，備受考生的關注與重視。在現階段，等價無窮小被證實能夠達到合理提高“極限”知識點相關題目解題精確性與速度的目的。本文在簡要分析等價無窮小解題方法的基礎之上，結合考研高等數學試題，就如何應用等價無窮小解考研高等數學試題這一問題展開了較為詳細的分析與闡述，希望能夠引起各方人員的參考與關注，從而為考生解答相關試題題目提供一定的參考與借鑒。

關鍵詞：等價無窮小 考研高等數學 解題 方法 分析

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）06（a）-0047-01

在數學分析，特別是求解考研高等數學試題的過程當中，等價無窮小是比較常用的概念與方法之一。實踐研究結果證實：借助于對等價無窮小相關方法的合理應用，能夠在很大程度上實現對計算流程的簡化。特別是在高等數學考研試題當中，近年來，涉及到應用等價無窮小方法進行計算的題目越來越多，且所占分值也越來越多。如何在遇到這部分題型的過程當中，合理應用等價無窮小方法進行作答，在確保計算精確性的同時，實現對解題時間的合理控制，這一問題備受考生、以及教師的特別關注與重視。本文試針對以上相關問題做詳細分析與說明。

1 等價無窮小基本概念分析[1]

數學分析研究的最核心對象為函數，而在有關函數研究的過程當中，最主要的方法是極限。通過對極限方法的應用，能夠達到研究函數連續性、可微性、可積性的目的。從而極限在分析數學試題中有著至關重要的地位。在相關數學題，特別是極限問題的求解過程當中，借助于對等價無窮小方法的應用，能夠通過代換方式使問題變得更加的簡單化，從而使極限值更加容易求出。常規意義上來說，在x→0的狀態下，常見的等價無窮小定理包括以下幾項內容：

（1）sin x～ x；

（2）arc sin x～ x

（3）tan x～ x

（4）In（1+x）～ x

（5）（1+x）1/n-1～ x/n

（6）ex-1～ x

2 等價無窮小方法在考研高等數學試題中的應用分析

（1）以2010年度，全國碩士研究生入學考試中“數學三”中的某選擇題題目為例：若定義[1/x-（1/x-a）ex]=1。則可以計算得出a取值為（）。該選擇題當中給出了如下四個基本選項：A選項為0；B選項為1；C選項為2；D選項為3。考生在求解該題目的過程當中，就可以應用等價無窮小方法完成對該題目的解答。具體的求解方式為：

對于該等式：[1/x-（1/x-a）ex]=1而言，可以通過拆分“a”數值的方式，將整個等級進行拓展。拓展后的等式為：[1/x（1-ex）+aex]=1。進一步拆分該等式，可按照如下步驟，得出有關a取值的等式。

[1/x（1-ex）+aex]=1

（拆分中括號中未知數，構建兩個聯立lim式）

1/x（1-ex）+aex

（前半部分為lim式保持不變，對后半部分式進行拓展處理）

1/x·（-x）+a

（進一步推定可直接簡化為有關a取值的等式）

-1+a=1

由此可以推定a取值應當為2。故在此過程當中，選擇C答案為正確答案。在上述解題過程當中不難發現：之所以能夠僅通過五次操作步驟，得出正確的答案，就在于解題過程當中充分應用了等價無窮小的基本定理：即在x→0的狀態下，ex-1～x。由此達到了簡化解題步驟的目的。

（2）以2005年度，全國碩士研究生入學考試中“數學三”中的某選擇題題目為例：求解極限x sin2x/x2+1的具體數值。考生在求解該題目的過程當中，就可以通過應用等價無窮小基本定義的方式，完成對該式最終答案的計算。具體的解題思路，以及計算方式如下所示。

對于該式x sin2x/x2+1而言，為更加簡便的實現對其取值數值的計算，則需要按照拆分式中未知數的方式完成解題。首先，可以通過對sin的簡化，將原式轉化成為：x 2x/x2+1。進一步解題方式為：

x 2x/x2+1

（變化該表達式當中x的求解位置，可構建如下式）

2 x/x2+1

通過上述分析不難發現：對于待求解式：x sin2 x/x2+1而言，在借助于等價無窮小方法對該式進行轉化的基礎之上，原式等價為：2 x/x2+1，即最終計算結果應當為2。顯然：在解題過程當中，通過對等價無窮小基本定理“在x→0的狀態下，sin2 x/x2+1～2 x/x2+1”的應用，能夠更簡便的計算出結果。

3 結語

在考研高等數學解題作答的過程當中，應用等價無窮小方法進行相關題目的解題，直接關系著考生考試成績的高低。等價無窮小解題方法中的替換有著極為突出的優勢，充分認識，并掌握此種解題方法的基本性質，能夠使大量復雜的題目變得更加的簡單化，在保障解題精確性的同時，確保解題時間的最短化。總而言之，本文針對有關應用等價無窮小解答考研高等數學試題過程中所涉及到的相關問題做出了簡要分析與說明，希望能夠引起各方特別關注與重視。

參考文獻

[1]黃愛輝，陳湘濤.決策樹ID3算法的改進[J].計算機工程與科學，2009，31（6）：109-111.

[2]劉萍.微積分形式不變性公式在教學中的應用[J].西南師范大學學報：自然科學版，2012，37（6）：233-236.

[3]祝微，楊春艷.等價無窮小代換定理的拓展[J].長春師范學院學報：自然科學版，2010，29（1）：12-14.

[4]龔萍.等價無窮小的性質及其運用推廣[J].河北理工大學學報：自然科學版，2009，31（3）：102-105.

[5]郭竹梅，張海燕.等價無窮小的性質及其在極限運算中的應用[J].河北北方學院學報：自然科學版，2010，26（6）：15-19.