多元復合函數鏈式法則的記憶技巧

摘 要：指出多元復合函數鏈式法則可以通過樹形圖來記憶。

關鍵詞：多元復合函數 鏈式法則 樹形圖

中圖分類號：G421 文獻標識碼：A文章編號：1673-9795（2013）06（a）-0046-01

在理工類數學分析或高等數學教材中，一般都有關于多元復合函數鏈式法則的介紹。眾所周知，多元復合函數鏈式法則是數學分析和高等數學中的難點之一。由于其涉及的基礎理論知識較多，中間變量或自變量的個數不止一個，使求導公式復雜化，增加了記憶的困難，很多初學者在學習這一部分內容時感到繁瑣困難，不僅沒有任何幾何直覺感，而且記憶理解不深刻，經過較短時間之后就會忘記定理內容和公式。

基于這種情況，本文介紹了多元復合函數鏈式法則的樹形記憶法[1]。這一法則在我國主要來自教學經驗豐富的數學老師。并且在最近幾年國外出版的經典高等數學教科書（例如Calculus，James Stewart著）中[1]，已經將樹形記憶法當做教材內容的一部分。可見這一學習記憶技巧的重要性與實用性。但是在我國，多元復合函數鏈式法則的樹形記憶法還是主要靠口口相傳，例如國內很多高校的高等數學教材[2]，甚至數學分析[3]教材，在介紹這一部分內容時，只給出了定理和公式，并沒有介紹這一記憶法則。這就很容易使初學者感到邊際未及，其底難觸，大大增加了學習的難度。所以我們希望通過本論文，能將多元復合函數鏈式法則的樹形記憶法在我國推廣，使更多的數學愛好者受益。

定理[3]：設和都在點可導，而在對應的點可微，則復合函數在點可導，且有公式：

（1）

另外，我們還可以得出如下結論：設和在點對于的偏導數，都存在，而在對應的點可微，則復合函數在點對于的偏導數存在，且

（2）

一般地，我們有結論：設在點對于≤≤的偏導數都存在，在對應的可微，則復合函數 在點對于的偏導數必存在，且

（3）

我們看到，在這個定理中，由于變量間的關系復雜，求導公式抽象冗長，記憶起來很困難。

為了記住上述公式，免去死記硬背之苦，我們以公式（2）為例來畫一個樹形圖（如圖1所示）。在公式（2）中，和是自變量，和是中間變量，因變量是關于中間變量和的函數，中間變量和分別是關于自變量和的函數。

我們從因變量z 起，畫出兩個分支和，這表示z是關于和的函數。接著我們分別從中間變量和畫出自變量和兩個分支，這表示中間變量和分別是關于自變量和的函數。然后在每個分支上，我們寫下相應的偏導數。這樣就直觀地表示出了變量之間的關系，使復雜的變量關系變得一目了然。

例如，為了找到的表達式，我們需要先找到從z 到的每條路，然后將每條路上的偏導數相乘，然后將這些乘積相加，我們就得到的表達式：；同樣地，可以通過從到的路找到：（見圖1）。

對于多元復合函數的高階偏導數，只要明確多元復合函數的一階偏導數，一般來說還是多元復合函數，利用上述的辦法，列出變量關系之間的樹形圖，也不難求出所要的結果來。

利用變量關系樹形圖寫出多元復合函數的求導公式的做法，從多年的高等數學從教經驗來看，達到了化難為易的目的，學生們普遍反映這個辦法好，容易接受，便于理解。但是我們也必須認識到，要想真正掌握多元復合函數的鏈式法則，必須要做適當的練習，才能真正鞏固。

參考文獻

[1]James Stewart.Calculus[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]費祥歷，亓健，馬銘福.高等數學[M].山東：中國石油大學出版社，2009.

[3]郭大鈞，陳玉妹，裘卓明.數學分析（下冊）[M].山東：山東科學技術出版社，2000.