論函數、性質與圖象的關系及教學建議

摘 要 本文首先討論了函數、圖形與性質之間的關系，認為它們是三位一體且互相等價的，因此，研究函數的性質就是為了研究函數和圖象；其次討論了函數的各類性質，并指出這些性質雖然是反映函數圖象的幾何特征的，卻都是利用代數形式定義并用代數方法推導的；因此，從認知學的角度提出了在高等數學的教學中要重視代數形式的演繹推導的觀點。

關鍵詞 函數 圖象 幾何特征 代數方法

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A

0 引言

傳統教材上認為微積分研究的基本對象是定義在實數集上的函數，這種說法過于概括，并沒有具體到研究了函數的什么內容；另外，還忽略了是怎樣進行研究的方法論問題，因此，筆者認為有必要在這些問題上做一些粗略的探討，以利于在微積分上有針對性地教學。

1 函數、性質及其圖象之間的關系

2 微積分研究函數性質的方法

3 結論及對高等數學教學的啟示

上述道理也可以在更深層次上來理解：自笛卡爾建立了直角坐標系后，數學問題的解決終于從繁瑣的幾何方法的桎梏中解放出來，從而獲得了飛速的發展——進入“純數學（代數）”時代。同時，現代科學技術的發展表明，任何科學技術的進步，都是由數學來推動的，因此，這就引出了“純數學（代數）為什么能夠推動科學技術的進步”的問題，要回答清楚這個問題，必須回到人的大腦的思維特性的層面來分析。我們知道，大腦思維離不開思維的對象，而可能成為思維對象的只能是代表一定對象的符號，而不可能是具體的實物，正如德國哲學家卡西爾所認為的“人是符號的動物”。其實，人和動物都有大腦和五官，在感知自然世界方面，都能看、能說并對外界事物具有一定的思維判斷能力，但只有人類把外界事物轉化為了相對應的符號，從而極大地促進了人類最外界事物的思維判斷能力。但現代科學技術表明，人類只靠符號思維還遠遠不夠，這是因為，人類大腦的思維能力是有限的，面對復雜和深層次的問題就無法進行思維、甚至會拒絕思維。關于這一點可以從兩方面來驗證：（1）對某一科厭學的學生總是拒絕學習這一學科；（2）現代技術條件下的復雜的數據、圖表必須借助于計算機、而依靠人力很難完成。由于數學不僅為人類提供了豐富代數符號和表示方法，并且在實踐中創造了可靠的符號的形式演繹系統，在形式演繹系統里，問題的解決是依靠一步步推導進行的，只要保證每一步推導是成立的，那么，得到的結論就是正確的，這不僅極大地減輕了人的大腦思維的負擔，甚至還可以編程利用計算機完成而不需要過多的人的腦力勞動。總之，若把人的大腦思維分為：（1）依靠直接看的直觀思維；（2）利用符號（脫離具體實物）抽象思維；（3）依靠符號的形式演繹系統（動手）推導等三個層面，那么，依靠符號的形式演繹系統（動手）推導顯然是人類手腦并用的高級思維模式。從這一點上來說，為什么數學教學要強調學生做一定量的習題練習，這實際上就是為了培養學生依賴數學符號的形式演繹系統（動手）推導——解決問題的能力，不是為了做題而做題。可是，如果在函數的教學上強調讓學生直接依靠“數形結合”、“幾何直觀”來解決問題，這不僅遮蔽了（代）數與（圖）形的先后生成的次序關系，也嚴重萎縮了學生依靠符號的形式演繹系統（動手）推導的能力——當學生在直觀上看不懂一個數學問題時，他們不會主動推導——這是在教學中經常發生的事情；特別地，當學生遇到無法畫出幾何圖形、函數圖象或者是高維空間的問題時，就束手無策，這必然導致學生在實際應用上出現“高分低能”的現象。從這個角度來看我國大學數學教育改革的問題，例如在極限的定義上，有些學者認為要降低其難度的主張，不僅無法培養學生依靠符號的形式演繹系統（動手）推導的能力，甚至無法培養學生的極限（無窮）思想和方法，這不能不令我們深思和探討。

參考文獻

[1] 黃立宏.高等數學[M].上海：復旦大學出版社，2010.

[2] 同濟大學應用數學系.高等數學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3] 毛京中.高等數學概念教學的一些思考[J].數學教育學報，2003.12（2）.