開放性問題的研究與設(shè)計(jì)

近幾年來，數(shù)學(xué)開放題作為一個(gè)具有時(shí)代特色的數(shù)學(xué)教育改革的亮點(diǎn)，已日益引起我國數(shù)學(xué)教育界的注意，逐漸形成數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn)。“數(shù)學(xué)開放題”并非是經(jīng)“全國自然科學(xué)名詞審定工作委員會(huì)”審定的規(guī)范數(shù)學(xué)名詞。對數(shù)學(xué)開放題的概念的界定，國內(nèi)外一些學(xué)者有如下的論述：

●有多種正確的答案的問題稱為“不完整性問題”或“開放性問題”。

●封閉題是指條件恰當(dāng)（不多不少），答案固定的習(xí)題，開放題是條件多余需選擇，條件不足需補(bǔ)充或者答案不固定的習(xí)題。

●問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余。

我們給”數(shù)學(xué)開放題”的概念給出一個(gè)描述性的界定：數(shù)學(xué)開放題是指那些答案不唯一，并在設(shè)問方式上要求學(xué)生進(jìn)行多方面、多角度、多層次探索的數(shù)學(xué)問題。

這里要特別說明的是答案不唯一并不是開放題的定義，比如一元二次方程的解也不唯一，但解一元二次方程這類題顯然不是開放題。還有“數(shù)學(xué)開放題”并不是一個(gè)純數(shù)學(xué)范疇的概念，而是一個(gè)教育范疇的概念。數(shù)學(xué)開放題不是普通的數(shù)學(xué)問題，而是為了達(dá)到一定的教育目的而精心編制設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)問題。

換言之，它要求學(xué)生的活動(dòng)和思維得到最深刻的體現(xiàn)。因此，在解決問題的過程中必須給每個(gè)學(xué)生有充分的自由，使其能根據(jù)個(gè)人的能力、興趣和愛好得到發(fā)展。此外，它允許學(xué)生在人格和數(shù)學(xué)才智方面得到培養(yǎng)。

數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)有其本身的規(guī)律與要求，開放性問題的設(shè)計(jì)思路相當(dāng)寬泛，也有其設(shè)計(jì)原則、設(shè)計(jì)視角、設(shè)計(jì)方法，下面談?wù)勯_放性問題設(shè)計(jì)的幾點(diǎn)想法。

一、開放性應(yīng)用題答案的判定與問題的實(shí)際意義有關(guān)，而與邏輯值的真假無關(guān)

現(xiàn)實(shí)問題往往是復(fù)雜的，常常受到多因素的影響，或者含有某種不確定性。在問題解決過程中，很少知道所有答案，有些問題很難找到答案，或者沒有確定的答案。正因?yàn)槿绱耍瘯?huì)、討論或會(huì)談，才有許多人參加。數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性與它所屬的理論體系有關(guān)，與數(shù)學(xué)記號的常規(guī)特征有關(guān)，與命題自身的意義有關(guān)，但如果有學(xué)生相信數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性等同于實(shí)際問題的正確性，那是過于天真和教條的想法。

開放性應(yīng)用題的開放性的根源之一是：問題答案充分考慮實(shí)際問題的多樣性、復(fù)雜性，把數(shù)學(xué)中的硬性結(jié)果與實(shí)際中的柔性特征相結(jié)合，做到更切合實(shí)際情況。從某種意義上說，正是由于現(xiàn)實(shí)生活中問題正確答案個(gè)數(shù)的不確定性，才導(dǎo)致了數(shù)學(xué)開放題有它現(xiàn)實(shí)的教育教學(xué)價(jià)值。

二、開放性的答案不以完備、完美作為設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，而以答案的探究性過程作為設(shè)計(jì)要素

在封閉性問題中，問題的設(shè)計(jì)者一個(gè)必須考慮的因素是問題的標(biāo)準(zhǔn)答案。因?yàn)椤皹?biāo)準(zhǔn)”答案是作為評判解題者解題的一把尺度，所以要有其權(quán)威性。這樣的答案當(dāng)然是確定的，不可變的，甚至于不可拓展的；過程是精巧的，方法是最優(yōu)的，這種“標(biāo)準(zhǔn)”答案是作為一種范式提供出來的，是作為一種“知識(shí)”呈現(xiàn)出來的。開放性問題的設(shè)計(jì)者要拋棄這樣的“條條框框”，應(yīng)著重研究：在問題的探究過程中，解題者可以用什么樣的手段，可能對問題作出什么樣的變式，可以對問題作出一些什么方向上的深化，探究過程對思考者數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有什么樣的促進(jìn)作用，等等。也就是說，開放題的設(shè)計(jì)是著眼于解題的過程，是以過程中“能力”的培養(yǎng)作為出發(fā)點(diǎn)，是以伴隨其過程中解題者素養(yǎng)的提高為根本目的。

設(shè)計(jì)什么樣的問題是最具有數(shù)學(xué)思考價(jià)值，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，使學(xué)生倍感興趣的問題呢？此時(shí)，設(shè)計(jì)者就應(yīng)站在一個(gè)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的高度，來引導(dǎo)學(xué)生思考的方向，啟迪學(xué)生重組、優(yōu)化信息，提出入口寬、方法多、思路廣、拓展性強(qiáng)的問題。所以說，開放性問題的設(shè)計(jì)是看中解決問題的“過程”甚至于是學(xué)生設(shè)計(jì)問題本身的“過程”。

三、生活是永不枯竭的源泉

生活永遠(yuǎn)是數(shù)學(xué)問題不枯竭的源泉。從某種意義上說，正是由于現(xiàn)實(shí)生活中一些問題正確答案個(gè)數(shù)的不確定性，才導(dǎo)致了數(shù)學(xué)開放題有它現(xiàn)實(shí)的教育教學(xué)價(jià)值。因此，關(guān)注現(xiàn)實(shí)世界中的問題，特別是學(xué)生身邊的或可理解的實(shí)際問題，可使學(xué)生們有一種親近感和解題的欲望。開放性應(yīng)用題應(yīng)更接近于現(xiàn)實(shí)，這是因?yàn)榉忾]性應(yīng)用題在許多情況下忽略了現(xiàn)實(shí)中某些因素，對思考方向作出具體定向，對現(xiàn)實(shí)問題加以簡化而形成的，其后果必然是現(xiàn)實(shí)狀況較為粗糙的刻畫。開放題雖不能說就是對現(xiàn)實(shí)生活全息式的刻畫，但比較而言，常常是考慮更多的因素以增加問題的開放度，這樣就產(chǎn)生相對意義下與現(xiàn)實(shí)誤差更小的逼近。就會(huì)發(fā)現(xiàn)在自己熟識(shí)的日常生活中，有許許多多這樣的事例，生活是孕育的搖籃，生活——永遠(yuǎn)是開放性應(yīng)用題永不枯竭的源泉。

四、體現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)教育思想

題目引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心社會(huì)發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生的主體意識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的社會(huì)化功能；編制開放性應(yīng)用問題要有現(xiàn)實(shí)感、時(shí)代感，解決現(xiàn)實(shí)生活中碰到的實(shí)際問題；開放性應(yīng)用題能體現(xiàn)德育功能，能對學(xué)生熱愛祖國、健全人生、積極向上有潛移默化的作用；開放性應(yīng)用題的設(shè)計(jì)既要保持問題的實(shí)際背景，又要使學(xué)生在理解社會(huì)信息上不產(chǎn)生困難；問題有吸引力、有挑戰(zhàn)性，吸引學(xué)生去解決這些問題，形成“不解決問題不收兵”的決心；應(yīng)用問題的設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)中的數(shù)學(xué)知識(shí)配套；應(yīng)用問題的設(shè)計(jì)要考慮學(xué)生的實(shí)際生活認(rèn)識(shí)水平，螺旋上升；問題的“可讀性”要好；模型的“可移植性：要強(qiáng)，學(xué)生從建模的求解的過程中不僅能體會(huì)理論與實(shí)踐相互作用，還能將得到的數(shù)學(xué)模型移植到眾多情境中去；好的開放性應(yīng)用題應(yīng)有較好的趣味性、可延展性和豐富的數(shù)學(xué)背景。

開放性問題是否體現(xiàn)重要的數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)教育思想是一個(gè)關(guān)鍵因素，在設(shè)計(jì)問題時(shí)，應(yīng)考慮解決問題時(shí)應(yīng)努力涉及到重要的數(shù)學(xué)教育思想，這是評價(jià)數(shù)學(xué)開放性問題好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。

（作者單位：江蘇省宜興外國語學(xué)校）