考研高等數學中線性代數試題分析

摘 要：本文對于線性代數的內容和題型，對其難度系數進行了打分；通過對難度系數的剖析，說明了在考研高等數學中線性代數部分的解答題（22分）常考的范圍，便于考生復習時能夠抓住重點，對于考研的同學有一定的指導作用。

關鍵詞：線性代數 研究生考試 高等數學

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）09（a）-0109-04

在考研的高等數學中，滿分是150分，線性代數的內容，34分，占大約22%其中選擇題8分（兩小題），填空題4分（一小題），解答題22分（兩大題）；本文對于線性代數的內容，根據公式（或概念）的難度，將其難度劃分為若干等級，進行打分；對于題型，根據解題時所用的知識點的多少，也將其難度劃分為若干等級，進行打分。然后，根據這兩個等級，將難度系數進行綜合打分。最后，通過對難度系數的剖析，說明了在考研高等數學中線性代數部分的解答題（22分）常考的范圍，便于考生復習時能夠抓住重點。下面對所給的方法具體解釋如下：

對于公式，根據其難度，分為三個等級，其難度系數分布賦予值1、1.5、2。比如，低階（四階以下）行列式，其計算公式很簡單，難度系數定義為1；再比如，矩陣A與伴隨矩陣的關系公式，比較復雜，難度系數定義為1.5。至于用施密特（Schmidt）方法求線性無關向量組的正交向量組，其公式內容較多，且涉及到內積的計算，故難度系數規定為2。

對于有關概念，也根據其難度，分為三個等級，其難度系數也分布賦予值1、1.5、2。比如：對稱矩陣的概念，比較簡單，難度系數定義為1；再比如，矩陣的特征值和特征向量的概念，涉及到等式，難度系數規定為1.5；至于非齊次線性方程組通解的概念，涉及到一個特解和的通解，而后者又涉及到的基礎解系的概念，比較難理解，故難度系數規定為2。

對于題型，根據其解題時所用到的知識點的多少，對其難度進行打分。所用的知識點多，難度系數就高，所用的知識點少，難度系數就低。比如：用初等變換求矩陣A的秩，通過簡單的運算，將矩陣化A為階梯型就可以了，難度系數定義為1；再比如：求齊次線性方程組的解，先用初等變換將系數矩陣A化為階梯型，據此確定自由變量和基礎解系，進而可寫出齊次線性方程組的通解。故難度系數定義為3。有時還需討論是否有非零解，因此，難度系數定義為≥3.

對于所用的知識點，也根據知識的難易和運算量進行打分，比如：對于一般的行列式的計算，難度系數規定為1；對于行列式的計算且需要討論的，難度系數規定為1.5；對于在一個題目中，多次計算行列式的，比如：用克萊姆（Cramer）法則解線性方程組，多次計算行列式，其難度系數也定義為1.5.

下面我們將線性代數的主要內容和題型，對其綜合難度系數進行了如下分析：（見表1）。

近年來，研究生考試中，解答題22分（兩大題），基本上是考察學生綜合運用知識的能力。接下來針對近年來的試題作具體的分析，下面的1～14題，見文獻[1]。

（1）2007年數學一、三（21），11分。設線性方程組：

（1）

與方程 （2）

有公共解，求的值及所有公共解。

難度分析：方程組（1）、（2）有公共解，即由方程組（1）、（2）組成的方程組有解，本題歸結為解非齊次線性方程組（含參數）的解。綜合難度系數為≥5。題型特點：解含參數的方程組。

（2）2007年數學一、三（22），11分。

設3階實對稱矩陣A的特征值是A的屬于的一個特征向量。記，其中E為3階單位矩陣。

①驗證是矩陣B的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量。

②求矩陣B。

難度分析：驗證是B矩陣的特征向量，難度系數為1；易見矩陣B為實對稱矩陣，那么已知部分特征值和特征向量，求該矩陣的全部特征值和特征向量，難度系數為4.5；綜合難度系數為5.5.題型特點：求矩陣的特征值與特征向量。

（3）2008年數學一、三（20），11分。

設矩陣，現矩陣A滿足方程工，其中，.

①求證.

②為何值，方程組有唯一解。

③為何值，方程組有無窮多解。

難度分析：求n階行列式的值，難度系數2；用克萊姆法則判別方程組有唯一解，難度系數為1；求線性方程組的通解，難度系數為5。故本題綜合難度系數為8。

題型特點：n階行列式的計算，解含參數的方程組。

（4）2008年數學一、三（21）（本題滿分11分）。

設A為3階矩陣，為的分別屬于特征值-1，1特征向量，向量滿足，

證明：①線性無關。

②令，求.

難度分析：線性無關的判別，難度系數為3.5；應用公式，難度系數為1，綜合難度系數為4.5.題型特點：

判斷方程只有零解，歸結為解方程組。

（5）2009年數學三（20）（本題滿分11分）。

設

①求滿足的所有向量；

②對①中的任一向量，證明：線性無關。

難度分析：求兩個求非齊次線性方程組的通解，難度系數為4.5；證明線性無關，難度系數為3.5，綜合難度系數為8。題型特點：解方程組。

（6）2009年數學一、三（21）（本題滿分11分）。

設二次型

（1）求二次型的矩陣的所有特征值；

（2）若二次型的規范形為，求的值。

難度分析：寫出二次型的矩陣A（含有未知參數），難度系數為1；求矩陣A的特征值，難度系數為2；已知二次型的規范形和特征值，反過來求未知參數，其難度系數為1；綜合難度系數為4。題型特點：求矩陣的特征值，求矩陣中的未知參數，解方程。

（7）2010年數學一、三（20），11分）。

設，。已知線性方程組存在兩個不同的解，

①求；

②求方程組的通解。

難度分析：已知線性方程組的部分解，反過來求未知參數，難度系數為3.5；再求方程組的通解，難度系數為3。綜合難度系數為6.5。題型特點：求矩陣和向量中的未知參數，解方程組。

（8）2010年數學一、三（21），11分。

設，正交矩陣使得為對角矩陣。若的第一列為，求。

難度分析：由，可得，由此可知：是A的一個特征向量，難度系數為1；已知矩陣的特征值和特征向量，反過來求未知參數，難度系數為2；再求正交矩陣，使得可以對角化，難度系數為2；綜合難度系數為5。題型特點：求矩陣中的未知參數，解方程。

（9）2011年數學一、三（20），11分。不能由線性表出。

①求。

②將由線性表出。

難度分析：由題設可推得線性相關，難度系數為1；進而，可求得的值；難度系數為1；將一組向量由另一組向量線性表示，難度系數為3；綜合難度系數為5。題型特點：求向量中的未知參數。

（10）2011年數學三（21），11分。A為三階實對稱矩陣，

且.

①求A的特征值和特征向量。

②求A.

難度分析：求A的特征值和特征向量，難度系數為4.5；矩陣的對角化問題，利用，可求得A，難度系數為1。綜合難度系數為5.5.題型特點：求矩陣的特征值和特征向量。

（11）2012年數學三（20），11分。

設

①計算行列式.

②當實數為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解。

難度分析：求含參數的低階行列式，難度系數為1；對的值（含參數）進行討論，判別方程組是否有解，難度系數為1；在有解的情況下，求方程組的通解，難度系數為3.綜合難度系數為5.題型特點：求矩陣中的未知參數，解方程組。

（12）2012年數學三（21），11分。

已知，

二次型的秩為2，

①求實數的值。

②求正交變換，將化為標準型。

難度分析：已知二次型的矩陣（含參數）和一些條件，反過來求未知參數，難度系數為1；已知二次型矩陣，求正交變換，將其化為標準型，難度系數為4.綜合難度系數為5。題型特點：求矩陣中的未知參數。

（13）2013年數學三（20），11分。

設，.當為何值時，存在矩陣，使得，并求所有矩陣.

難度分析：設，難度系數為1；由矩陣方程，得到方程組，難度系數為1；由題設通解求，難度系數為1；求方程組的通解，難度系數為2；綜合難度系數為5。題型特點：求矩陣中的未知參數。

（14）2013年數學三（21），11分。

設二次型

。

記，。

①證明二次型對應的矩陣為.

②若正交且均為單位向量，證明在正交變換下的標準型為.

難度分析：求二次型的矩陣A，難度系數為2；A=，由此可求出A的兩個特征根，難度系數為1.5.再求出A的一個特征根，難度系數為1。綜合難度系數為4.5.題型特點：對稱矩陣的對角化。

從上面的分析可見，解答題的試題，主要有兩個方面的特征：一是題型特征；二是難度綜合系數特征。其題型特征主要集中在三個方面：

第一，求未知參數和解方程組。這個未知參數可能出現在行列式中，也可能出現在向量中，也可能出現在矩陣中。而解未知參數，必須要列方程（組）。然后來解方程組。因此，解方程組是重點。

第二，求矩陣的特征值和特征向量。

第三，矩陣的對角化。這包括一般矩陣的對角化和對稱矩陣的對角化。

因此，同學們在考研復習時，要重點復習上面的三種題型。

其綜合難度系數的特征是：解答題的試題都是出現在綜合難度難度系數≥3.5的部分。因此，同學們在考研復習時，要重點復習難度系數表中綜合難度系數的≥3.5內容。至于填空題和選擇題，主要考察同學們對基本概念的理解以及一定的綜合運算能力，只要按照大綱給定的內容認真進行復習就可以了。

參考文獻

[1]2009—2013年全國碩士研究生入學統一考試數學三試題[EB/OL].中國教育在線，Http：//www.edu.cn.