關于“統計與概率”內容教學的若干思考

潘小梅

[摘? 要] “統計與概率”來源于生活實際，特別是其中所蘊含的“運用數據進行推斷”的思考方法已經逐漸成為現代社會大數據時代一種非常普遍的思維方式. 但是，在現實的教學中，教師對此部分的教學不甚重視. 基于此，文章結合案例，談談如何改進“統計與概率”教學，以發展學生的數據分析觀念.

[關鍵詞] 統計與概率;數據分析觀念;數據;推斷;模型

在義務教育新課程中，“統計與概率”是與“數與代數”“圖形與幾何”“綜合與實踐”具有同等地位的學習內容，它的內容來源于生活實際，特別是其中所蘊含的“運用數據進行推斷”的思考方法已經逐漸成為現代社會大數據時代一種非常普遍的思維方式. 但是，在現實的教學中，這部分內容與教師之前熟悉的代數與幾何內容在研究對象、研究思路、研究方式等方面都有根本的不同，所以對教師的教學提出了較大的挑戰;再者，中考等各類統考對這一部分內容的考查都比較簡單，學生的實際掌握情況很難通過考試區分開來，這就使得師生對這部分內容的學習不夠重視. 筆者在平時的聽課交流中，發現了較多老師不以為然的、不合理的教學現象，本文試圖透過這些現象挖掘成因，改進“統計與概率”內容的教學.

發展數據分析觀念，把握核心價值

在中考評價考試中，“統計與概率”內容的常見考題是：區分必然事件、不可能事件與隨機事件的概念，區分全面調查與抽樣調查的概念;給出題目的部分信息補全統計圖表;直接提供數據計算平均數、中位數、眾數、方差等統計量;通過列表或畫樹狀圖的方法求簡單隨機事件的概率;根據表格中所列的頻率寫出概率. 因此，從“得分”的角度來看，這些考題基本屬于“送分題”，學生只需要熟知基本概念、記住公式，便可以得到分數. 正因為考試評價的教學指揮棒作用，所以許多教師不愿意花時間研究“統計與概率”的教學內容，而將統計課教成了“代數課”，即重點介紹計算方法，如平均數只是讓學生學會計算，而沒有讓學生理解平均數是反映數據集中趨勢的統計量，概率則重點讓學生學會畫樹狀圖以應付考試. 這與開辟“統計與概率”內容板塊的初衷有極大的偏差.

事實上，“統計與概率”內容教學的核心價值是發展數據分析觀念. 《義務教育數學課程標準》（2011年版）對“數據分析觀念”的解釋是：了解在現實生活中有許多問題應先做調查研究、收集數據，再通過分析數據做出判斷，體會數據中蘊含的信息;了解對于同樣的數據可以有多種分析方法，需要根據問題的背景選擇合適的分析方法;通過數據分析體驗隨機性，一方面，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能不同，另一方面，只要有足夠的數據，就有可能從中發現規律[1].

數據分析觀念可以從數據分析意識、數據分析技能、數據分析評判質疑能力三個方面加以理解和落實[2]. 數據分析意識，是指在現實生活、經濟運行、生產營銷等活動中遇到問題時，能想到先進行調查研究、收集數據，能想到通過數據蘊含的信息進行判斷與決策，用數據說話等意識. 數據分析技能指的是設計活動方案、收集數據、整理數據、描述數據、分析數據和做出推斷的技能. 數據分析評判質疑能力包括對自身統計活動的數據和結果進行評判與反思，以及對他人所提供的數據和結果進行合理判斷的質疑意識與能力.

注重數學實驗設計，幫助學生理解

樹立數據分析觀念，不是單純地學習“統計與概率”中的名詞，簡單地掌握計算，而是要讓學生親身經歷數據分析的全過程. 這里的全過程指的是收集數據、整理數據、描述數據、分析數據的過程. 要讓學生經歷數據分析的全過程，可以設計數學活動，讓學生在數學活動中體驗由數據進行推斷、預測、決策的過程.

案例1浙教版九年級上冊“2.1 事件的可能性”：體驗可能性大小的活動設計.

活動設計1：一個不透明的箱子里有10個球：2個白球和8個紅球，從中任意摸出一個，求摸到白球的可能性是多少.

活動設計2：一個不透明的箱子里有10個球，其中一些是白球，一些是紅球，從中任意摸出一個，請你通過實驗，說明摸到紅球的可能性是多少.

評析古典概型的概率實驗，其根本目的不是驗證相關事件發生的概率值，也不是發現事件發生的概率值，而是幫助學生體會相應事件發生概率的含義. 對于活動設計1，學生已經能夠通過列舉的方法知道可能性為0.2，所以他們沒有探究的欲望，這種用類似定義的方式教學隨機，達不到培養學生隨機觀念的目的. 活動設計2則能讓學生感受到每一次摸球的結果事先都不知道，但摸多了便能幫我們做一些判斷. 學生通過活動設計2中的實驗能感受到，對于同樣的事情，每次收集到的數據可能會不同，特別是在具體的某次實驗時某種情況不一定出現，但是在大量的重復實驗時該情況會呈現出一些規律. 這樣的活動，能讓學生既體會隨機的含義，又感受到數據中蘊含的信息.

案例2你會選擇到哪一家公司應聘？

活動設計1：A公司和B公司員工一月份的工資情況如表1.

活動設計2：A公司和B公司招聘員工，小明想根據員工的收入情況確定去哪一家公司應聘，請你幫助小明設計一個調查方案，幫助他做出決策.

評析活動設計1直接給出數據，讓學生進行判斷;活動設計2則讓學生自己給出調查方案. 對于活動設計2，在設計方案的過程中，學生需要明確統計目標，制定抽樣規則，再收集數據、描述數據、整理數據，最后做出判斷. 也許學生收集到的數據同活動設計1中的數據，但這些數據是學生自己想收集的，并不是被給予的、現成的. 活動設計2能讓學生經歷統計的過程，也能讓學生對數據處理的過程和結果有比較準確的理解與解釋.

史寧中教授指出，“我們贊成做實驗，贊成用統計的思想做實驗”. 不采用直接告知的方式而是通過數學實驗來組織教學，目的是讓學生真正參與活動，深化理解. 所以，在設計活動時，教師應讓實驗具有可操作性、探究性.

加強知識聯系，掌握數據分析技能

學習“統計與概率”的相關內容，是為了發展學生的數據分析觀念. 數據分析觀念的培養要以真實的數據為載體，且由真實數據經歷數據整理與分析的過程. 數據整理包括：將數據分組、計算各組頻數、畫頻數分布表、畫頻數分布直方圖、計算樣本特征數（反映集中程度的特征數，如平均數、眾數、中位數、加權平均數;反映離散程度的特征數，如方差、標準差等統計量）. 我們既要知道在何種條件下用什么樣的統計量來進行整理，又要借助計算器或者紙筆運算來進行計算，以免因為計算錯誤導致推斷錯誤、決策失誤. 在教學中，我們要加強知識之間的聯系，如以“類比”的方法幫助學生識記圖表，掌握特征數的計算，提高數據分析技能.

案例3“條形統計圖與折線統計圖”教學片段.

師：在前一節課中，我們剛剛學習了統計表，今天老師給大家帶來了一張未完成的統計表（表2），同學們覺得它缺少什么內容呢？

師：這樣，一張完整的統計表就制作好了！它包含三個部分，即標題（含制作日期）、標目、數據. 根據統計表中提供的數據，你能看出哪兩名學生的身高相差最多嗎？

生（眾）：（停頓了一會兒）學生3和學生5的身高相差最多！

師：你是怎么得到的？

生2：我通過比較這些數據的大小，發現最大數是1.80，最小數是1.48，所以學生3和學生5的身高相差最多！

師：我們全班有50名學生，要最快找出兩名身高相差最多的學生，你有什么辦法嗎？

生3：要先知道每個學生的數據，然后像剛才一樣比較大小……

（還沒等他說完，另一個男生迫不及待地站了起來）

生4：讓他們站起來！當然要站在同一平地上！

師：比如，像這樣站起來！（老師邊說邊用FLASH動畫演示，讓人物按照表格對應的數據站起來，如圖1）一站起來，我們不需要數據，并且能更快地發現學生3和學生5的身高相差最多！

師：現在我們在每一個人物對象的下方標上他們對應的“姓名”，畫一條水平方向的直線，表示他們站在同一水平線上，再在旁邊豎直方向上立一根標尺，表示他們的身高（如圖2）. 你看，數據也很清晰地表示出來了！

師：這種“站起來比身高”的辦法確實給數學家們帶來了很大的啟發，但是比身高要畫人，比電視機的銷售量要畫電視機，是不是太麻煩了呢？

（還沒等老師把話說完，學生舉手了）

生5：那我們把“人”用一條線段來代替！（生5的回答出乎老師的意料）

生6：我覺得可以用“長方形”來代替“人”！

師：很聰明！大家都能各施奇招！為了讓圖形更直觀、大方，我們用簡單的圖形——長方形來代替. 再把它對應的數據標在長方形的頂端. （接著，老師用FLASH動畫演示把“人”替換為“長方形”的過程，如圖3和圖4）

生（眾）：（歡呼）哇！

師：圖4也包括了統計表中所有的信息，誰能給它取個名字呢？

生7：條形統計圖！把統計表中的標題及制作日期寫在圖形的上方，這樣，統計表中有的，這張圖中也有了.

師：很好！我們再把統計表中的標題及制作日期寫在圖形的上方，這樣一幅完整的統計圖就制作好了！跟統計表比較，統計圖有哪些要素呢？

生8：標題、標目、數據.

師：條形統計圖與統計表相比，有哪些優勢？

生9：更直觀、形象了！

評析上述教學片段先讓學生“填寫完整的統計表”，既讓學生經歷了真實數據的收集過程，又自然地勾起學生對統計表三要素的回顧. 接著提出問題“根據統計表中提供的數據，你能看出哪兩名學生的身高相差最多嗎”和“我們全班有50名學生，要最快找出兩名身高相差最多的學生，你有什么辦法嗎”，讓學生通過思考自然想到“站起來”解決問題，出現了統計圖的雛形. 然后，教師引導學生從水平線的姓名表示，到豎直線的標尺，以及“站起來比身高”，幫助學生體驗從統計表到統計圖的信息轉換，并由此抽象、歸納出條形統計圖. 在這個教學片段中，我們并沒有告訴學生怎樣畫統計圖，代之以如何將統計表中的信息轉換到統計圖中，把統計圖作為數據信息的另一種呈現形式，并保持“標題、標目、數據”三要素不變，讓學生學會一脈相承地來學習統計圖表. 事實上，在后續的折線統計圖學習中，學生已經能自覺地把統計表、條形統計圖的信息進行轉換，輕松地掌握運用圖表進行數據分析的技能.

數據分析可以分為描述性統計分析和推斷性統計分析. 描述性統計分析是通過集中趨勢、離散程度、圖形表示等來刻畫數據，而推斷性統計分析是利用樣本數據去推測總體的情況. 教學“統計與概率”時，我們要運用聯系的方式學習，如類比統計表學習統計圖，類比頻數分布表學習頻數分布圖，類比列表法學習畫樹狀圖的方法等.

歸納提煉模型，凸顯問題解決

統計是為應用服務的. 《義務教育數學課程標準》指出，模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑. 模型思想的建立不僅有助于學生運用數學思想方法解決問題，而且對提高學習數學的興趣和應用數學的意識有很大的幫助. 在本板塊中，我們會接觸到較多的現實生活中的問題，也需要用學過的統計量來解決實際問題. 解決問題時，我們需要將實際問題轉化為數學模型，這個“數學化”的過程就是歸納、提煉模型的過程. 教學中，我們應讓學生經歷數學模型的歸納、提煉過程，幫助他們逐步學會建立模型解決問題.

案例4《水庫里有多少魚？》教學設計（浙江省特級教師胡趙云老師執教）.

問題1：圖5是一個大水庫，要想知道水庫里有多少魚，你有什么辦法？

問題2：如圖6，在小學的摸球游戲中，你學到了什么？

活動1：老師給每一組同學準備了一袋棋子，如果不允許倒出來，你怎么知道袋子里棋子的組成？

活動2：袋子里裝有形狀相同的棋子，其中有20顆白色棋子，請你設計一個操作方案，估算袋里的棋子數.

問題3：我有一袋棋子，里面全是白色的，怎樣估計袋子里面棋子的總數？

問題4：要想知道一桶大豆有多少粒，你有什么辦法？

思考：怎樣估計一片森林里有多少野鹿？怎樣估計某城區里有多少野貓？怎樣估計一片試驗田的水稻產量是多少？在實際研究工作中，生態學家經常要估計所研究的生物種群的數量.

評析本課要解決的問題是“水庫里有多少魚”，許多老師會直接告訴學生按照“捉→放→捉”的操作思路進行估計，于是學生便學會了怎樣解題. 但是，胡老師卻花了大力氣來講“水庫里有多少魚”這一問題，目的是讓學生經歷模型建立的過程：提出問題（水庫里有多少魚）→回顧“箱中摸球”→實驗“袋中摸棋”→思索“桶中數豆”→聯想“水庫數魚”. 一系列環節，讓學生親歷實驗，經歷收集、整理、分析數據的過程，感受“桶”“袋子”“水庫”都是“莫大的箱子”，“棋子”“豆”“魚”就是“球”，循序漸進地幫助學生建立模型，一步一步地理解模型. 課尾，胡老師又分享了4個類似的問題，并歸納科學家的解決辦法，讓學生運用“摸球游戲”的模型來解決問題. 這樣的教學過程，能將模型思想悄然植入學生的內心，能讓學生感受數據分析的價值和意義，感受數學在生活中的廣泛應用，從而深刻詮釋“概率與統計”教學的核心價值.

學生之前所學習的幾何內容依賴的是公理和假設，從一般逐步推理到特殊，代數內容中法則、性質的教學雖也有從特殊到一般的歸納過程，但它們的結果是確定性的，而統計學是從特殊到一般進行不完全歸納推斷，推斷依賴的是數據和數據產生的背景，強調根據背景尋找合適的推斷方法，從部分推斷全體. 更確切地說，它們對結果的判斷原則不同：代數與幾何的判斷標準是對與錯;而統計學的判斷標準是優與劣的程度. 可以說，“統計與概率”是義務教育階段唯一以隨機的觀點來理解現實世界的教學內容，它能幫助學生形成自覺運用數據進行推斷的思維方式. 用隨機思想解決問題，能逐漸形成隨機的思維方式，能為學生的思維打開另一扇窗戶，形成良好的數學思維結構.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 義務教育數學課程標準（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]許芬英等. “浙江省中小學學科教學建議”案例解讀——初中數學[M]. 杭州：浙江教育出版社，2015.