深入簡出，實現概念精加工

分數概念反映的是一種“關系認識”的思維方式，在小學階段主要分為兩個層次，第一層次是單個整體與部分的具象關系，第二層次是多個物體與部分的抽象關系。而三年級上冊第十單元的第一課時《認識分數》，是把單個的物體看作一個具象整體，把這個具象整體平均分成幾份，其中的一份是這個具象整體的幾分之一，即反映的是第一層次的關系，這是分數認識的基礎。相比較整數概念，分數的概念更為抽象，如果僅僅記憶或者操作這些符號化的概念，那么學生對幾分之一的認識只能停留在形式化的表層，這將對他們以后認識多個物體與部分的抽象關系造成困擾。所以，在一開始認識時，就應該關注這個數學符號所蘊含的本質屬性，對概念生成過程進行精加工。

一、概念教學的三次嘗試

第一次嘗試：忠于教材安排，按部就班開展教學。

首先，出示教材上的野餐情境，讓學生把4個蘋果、2瓶礦泉水、1個蛋糕分給兩個小朋友，根據分的情況揭示“平均分”，并讓學生嘗試用數學符號表示半個蛋糕，再借助古代人狩獵情境（兩個人捕捉到1只兔子）展示記錄半只兔子的符號變化情況。

然后，借助媒體演示，逐步揭示 的意義——把一個蛋糕平均分成兩份，每一份是它的 ，并適時板書，說明 的寫法，自學各部分名稱。接著讓學生在長方形、正方形、圓形、T恤、褲子的紙片上分一分，找到 并用斜線涂上顏色。

雖然整個教學過程尚顯順暢，但是在后面認識幾分之一的環節中，發現了幾個突出問題：孩子們利用不同形狀的紙片創造幾分之一時，有大約 的孩子不知道從何入手，有大約 的孩子把紙片平均分好后，不知道幾分之一在哪里；在交流“你是怎樣得到幾分之一”時，有部分學生不知道如何闡述。

經過深入分析，主要原因在于分數概念認識單一化、形式化。在引入 的概念時，僅僅通過一個分蛋糕的情境，無法充分地在符號與現實意義之間建立對應關系。后面的操作，就成為指令性行為下的模式化活動，這種活動只能建立抽象圖形和符號之間的連結，無法代替真實情境與符號的連結。學生就缺失了對“平均分”的深刻體驗，缺失了對 所表示的是單個整體與部分之間具象關系這一本質內涵的認識。

第二次嘗試：擴充背景材料，分類辨析開展教學。

首先，出示兩個小朋友分享一個蛋糕、一塊巧克力、一塊三明治的情境，依次用圓形、長方形、三角形紙片分別來代替上述三樣食品，讓學生動手分一分。然后，對學生出現的不同分法進行分類。選擇出“每人分得同樣多”的紙片，揭示“平均分”，并進一步提問：他們都被平均分成了幾份？這一份還滿“1”嗎？那可以用誰來表示呢？從而引出 ，揭示課題。接著依次判斷上述不同紙片上的陰影部分是否能用 表示，并提問：怎么都可以用 表示呢？他們有什么相同的地方？從而揭示出 的本質：都是平均分成了兩份，涂色部分都是其中的一份。最后教學寫法，說明先劃一條橫線，表示平均分。然后讓學生猜想先寫橫線下的“2”，還是先寫橫線上的“1”，并說明理由（先要平均分成兩份，才能得到其中的一份），完成板書。

這一次教學，使探究“整體與部分”關系的背景材料變為兩個小朋友分享一個蛋糕、一塊巧克力、一個三明治，學習資料的豐富，讓學生對 的體驗更為全面、深刻。另外，及時把形象的蛋糕、三明治、巧克力抽象為圓形、三角形、正方形的紙片進行“分一分”的操作，并對不同分法進行分類辨析，抽取出是平均分的那一部分材料的共有屬性——平均分成兩份，涂色部分是其中的一份，幫助學生加深對單個物體“平均分”的認識，也更完整地讓學生體驗 的生成過程。

然而，隨之而來也產生了新的問題，“分類”時耗費了太多時間，導致整個概念的建構過程比較倉促。而造成分類時間過長的原因主要有二：第一，三年級學生的注意力以直觀感知為主，他們關注的往往是圖形中能夠直接刺激視覺的信息，如顏色、形狀、位置等，而“分的大小”是否相等所產生的刺激并不強烈。第二，“分的大小是否一樣”的本質內涵就是是否“平均分”，此時，學生的已有經驗停留在多個物體的平均分上，對一個整體的平均分是初次接觸。

“分類辨析”其實忽視了學生學習的現實起點。學生雖然沒有“單個物體平均分”的體驗，但對平均分的認識并不是一張白紙，他們之所以在闡述分數意義時容易把“平均分”遺漏，并不是因為不懂平均分，很大程度上是一種語言表述的慣性遺忘，所以沒有必要以“分類”為手段，從頭感悟“平均分”。

第三次嘗試：精選教學事例，深入簡出開展教學。

首先，出示古人狩獵的故事：幾千年前，我們的祖先以打獵為生。這天有兩個人一起捕到了4只羚羊，2只小鹿，1只兔子，他們該怎么分配這些獵物才能使大家都滿意呢？讓學生分配獵物，并根據學生回答依次出示古人的記錄符號Ⅰ、 Ⅱ、 ，初步揭示“平均分”。然后，創設兩個小朋友分享一個蛋糕的情境，由對半個蛋糕的數學表示方法引出課題，并通過電腦演示不平均分的情形，辨析說明“古代人分東西要做到平均分，我們現在分蛋糕也要平均分”，逐步揭示“把一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的 ”。接著創設兩個小朋友分享一根旺旺碎冰冰的情境（電腦演示平均分成兩份），探討“每個小朋友又能分到多少”，并思考“為什么也能用 表示”，揭示“把一根旺旺碎冰冰平均分成兩份，每份是它的 ”。之后學生思考“古代人畫的 這個符號表示什么意思”，揭示“把兔子平均分成兩份，每份是它的 ”。溝通現在的 和古時候的符號之間的聯系和區別，知道中間的橫線表示平均分。再教學分數的寫法，通過討論“畫出橫線后先寫橫線下的2，還是先寫橫線上的1”，溝通寫法和意義之間的聯系。自學分數各部分名稱。在圓形、長方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形紙片中任選一張，折一折找出它的 ，畫上斜線并交流。

二、概念生成的方法

第三次的教學效果有了明顯提高，學生不僅能夠很快找出一個物體或者圖形的幾分之一，而且還能用自己的語言比較清晰地說出幾分之一的意義，這主要源于在教學策略上的幾個改進。

1.精心創設生產、生活事例情境，激發學生學習分數的心理需求。和第二次教學嘗試相比，這一次對研究 的三個事例進行了重新選擇——來自古代狩獵的情境，來自書本提供的分蛋糕的事例，來自學生實際生活中經常遇到的分旺旺碎冰冰的場景。從古到今，從生產到生活，讓學生的視野在跨越時空信息的刺激下得到拓展，這樣， 就不僅是半只兔子、半個蛋糕、半根旺旺碎冰冰了，還可能是半個蘋果、半個西瓜等等，一種進一步研究分數本質內涵的心理需求被充分激發，同時滲透分數的演變進程，幫助學生積淀起數學的文化內涵。

2.提供大量的感性材料，引導學生經歷“過程抽象”，形成對分數意義深刻、全面的認識。除了上述的現實事例外，本次教學行為中還提供了長方形、正方形、圓形、等腰三角形、等腰梯形等操作紙片，甚至在認識幾分之一時，還呈現了三葉草、五角星、黑板報版面、QQ農場等讓學生來想象幾分之一，大量的信息，采用做、說、想等不同的方式，一次次地抽離物體的外在屬性，深入挖掘分數的本質內涵，最終形成對分數所表示的單個整體與部分的具象關系（即把一個物體或圖形平均分成幾份，每份是原來的幾分之一）清晰而簡單的認識，并在一次次敘說中，學會用比較規范的數學語言把這種認識轉化為外在化的表達。

3.巧妙遷移，有效滲透單個物體的“平均分”。僅在上述教學片斷中，就有4次滲透了平均分。第一次是由“每人兩只羚羊就是每人分得同樣多”，喚起學生已有的平均分經驗。第二次借助半個蛋糕的不同分法，揭示出“古代人分東西的時候要做到平均分，我們現在分蛋糕也要平均分”。第三次通過分數線所起的作用，再次強化“平均分”。第四次的“平均分”則是在教師隨意的“折”這一動態過程中，給予學生強烈的視覺沖擊。四次滲透，緊扣學生的知識起點，用無痕化方式加深對單個物體“平均分”的印象，從而有效防止學生對“平均分”的習慣性遺忘。

三、概念精加工的策略

數學概念形成的發展過程是一個數學化的精加工過程，即對豐富的材料進行細致的觀察，借助分析、綜合、比較、抽象等思維活動，進行去粗取精、去偽存真，舍棄材料的現實意義，抽象出共同的、本質的數學屬性，經過簡約化的提煉進行符號化的數學表達。縱觀三次嘗試，最終試圖深入而簡出，深入教材，深入概念的本質內涵，深入動態的建構過程，數形結合，有效實現概念精加工。

1.深入教材，拓展信息，豐富學生的直觀感知

分數具有廣泛的應用性，它滲透于我們日常生產、生活的角角落落。教材編排的生活情境是通過分蛋糕來引入 的概念。第一次嘗試教學，完全忠于教材的編排，結果學生缺乏豐富的感知，致使 概念建立的過程并不充分。于是便有了第二次信息的擴充，在兩個小朋友分享一個蛋糕的基礎上，增加了兩個小朋友分享一塊巧克力、一塊三明治的事例。這樣背景材料豐富了學生的感知，但不足的是，這些事例屬于同一性質、同一層面，缺少空間的架構和時間的延展性，所以也在一定程度上限制了學生的思維寬度。為了讓學生認知過程與更多層面的生活情境聯系，清晰建立分數的概念，便對事例進行了進一步地甄選處理（即第三次教學嘗試），通過對多個不同時期、不同范疇的生活事例中表示的分數 進行語言概括化的過程，幫助學生初步建立了對二分之一所表示的部分與整體之間的一種關系認識，并在分數符號的逐漸演變中，感受現代符號的簡約性。數學史的滲透，有助于學生在歷史背景中，更深刻地把握數學知識的本質內涵，增加概念的深度。

2.深入過程，化靜為動，把握概念的本質內涵

數學概念是人類生命實踐活動的智慧結晶，是前人通過辨析、比較大量材料，提煉、抽取本質屬性，歸納、概括、命名的活動過程而形成的。如果說經過簡約化的提煉和符號化的表達，數學概念就抽象成為一種顯性的符號化知識，那么辨析比較材料、提煉抽取本質、歸納概括命名的活動過程，往往就成為一種隱性的過程形態的知識。

要表示出一個物體的 ，必須把握兩個本質特征，即首先把一個物體平均分，其次是明確每份是誰的 。這就要隨著多層面、多角度的靈動的探索過程的步步深入，才能讓學生逐步得到清晰的認識。直到第三次教學嘗試，才真正進一步放大教材優勢，設計了由動手操作一個圖形擴展到操作一組圖形的情境，把形狀不同、大小不等、顏色各異的多個幾何圖形紙片發給學生，讓學生經歷折、找、畫、寫、說等過程。通過師生、生生之間合作交流，共同商討等學習方式，引導學生舍棄圖形的形狀、大小、顏色以及表示 的位置等不同的非本質屬性，抽取出其中的本質特征。在這樣的“過程性抽象”階段，把靜態的數學符號轉化為動態的表象認識過程，并進一步獲得理性認識，這樣的抽象符號與具體的生活事例之間的對應關系也終于成功地建立起來。

（孫曉華、朱峰，無錫新區實驗小學，214000）

責任編輯：趙赟