復(fù)數(shù)概念教學(xué)應(yīng)關(guān)注的問題

新課程中復(fù)數(shù)教學(xué)突出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示，同時也強(qiáng)調(diào)復(fù)數(shù)的幾何意義。本文就此淺談第一節(jié)“復(fù)數(shù)的引入及數(shù)系的擴(kuò)充”的教學(xué)應(yīng)關(guān)注哪些問題。

一 復(fù)數(shù)教學(xué)的定位與教育價值

復(fù)數(shù)是高中生必備也是高考必考的的基礎(chǔ)知識，文理科內(nèi)容相同，要求一致。復(fù)數(shù)不像實數(shù)，具有實在感，復(fù)數(shù)是純理論的創(chuàng)造，無法直接感知。數(shù)的產(chǎn)生是生產(chǎn)實踐的需要，是用來記數(shù)或丈量的，但復(fù)數(shù)是為了解方程而產(chǎn)生的。

數(shù)系的擴(kuò)充對學(xué)生來說并不陌生，學(xué)生已學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、無理數(shù)，復(fù)數(shù)的引入，實現(xiàn)了中學(xué)階段數(shù)系的最后一次擴(kuò)充。當(dāng)然，數(shù)系擴(kuò)充必須滿足的原則是：“（1）從數(shù)系A(chǔ)擴(kuò)充到數(shù)系B必須是A真包含于B，即A是B的真子集；（2）數(shù)系A(chǔ)中定義了的基本運算能擴(kuò)展為數(shù)系B的運算，且這些運算對于B中A的元來說與原來A的元間的關(guān)系和運算相一致；（3）A中不是永遠(yuǎn)可行的某種運算，在B中永遠(yuǎn)可行；（4）B是滿足上述條件的唯一的最小的擴(kuò)充?！?/p>

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)這座大廈的基石，是數(shù)學(xué)體系的起點。因此，掌握復(fù)數(shù)的基本概念是學(xué)好復(fù)數(shù)的關(guān)鍵。復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)能強(qiáng)化學(xué)生分類討論、類比以及數(shù)形結(jié)合的思想，能激發(fā)學(xué)生勇于探索、創(chuàng)新的精神，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)發(fā)展過程的美。

二 處理教材應(yīng)關(guān)注的幾個問題

第一，為什么引入復(fù)數(shù)；第二，怎么引入；第三，什么是復(fù)數(shù)；第四，復(fù)數(shù)怎么分類；第五，如何判斷兩個復(fù)數(shù)相等；第六，復(fù)數(shù)的幾何意義。建議對本節(jié)課的教時設(shè)定為一個課時，因內(nèi)容較多，抽象不易理解，加之在關(guān)鍵地方規(guī)定較多，未講清為什么要規(guī)定，為什么這樣規(guī)定。因此處理以上六個問題，是幫助學(xué)生正確理解與掌握復(fù)數(shù)概念的關(guān)鍵，也是上好本節(jié)課的重要線索。

三 教學(xué)的關(guān)鍵

復(fù)數(shù)比之前學(xué)過的數(shù)更抽象，尤其是虛數(shù)單位“i”的引入，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的沖突、心理上的排斥。因此本節(jié)課的關(guān)鍵是幫助學(xué)生理解虛數(shù)單位“i”，并理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。

四 對教學(xué)過程安排的建議

首先，從學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和知識背景出發(fā)，提問所學(xué)過的數(shù)的分類，以及常用數(shù)集的表示及其之間的關(guān)系。

緊接著，解五個方程：x+1=2；x+2=1；5x=3；x2=2；x2=a。

從前四個方程的求解中，學(xué)生間接回顧數(shù)系的擴(kuò)充，了解數(shù)系擴(kuò)充的歷史。第五個方程，高二學(xué)生須具備一定的分類討論思想，當(dāng)a≥0時能解，a<0時就解不了。學(xué)生感知已有的數(shù)集不夠用，數(shù)系自然就要擴(kuò)充了。

問題1：能不能創(chuàng)造一類數(shù)使它的平方是負(fù)數(shù)呢？

大量實例表明任何一個負(fù)數(shù)都可以表示成-1與一個正數(shù)的乘積。因此，要解決誰的平方是負(fù)數(shù)這一問題，只需要解決誰的平方等于-1即可。這就說明引入虛數(shù)單位“i”的必要性及合理性了。

問題2：引入“i”能將原有的數(shù)系擴(kuò)充嗎？

從以往數(shù)系擴(kuò)充的經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生將虛數(shù)單位“i”與實數(shù)進(jìn)行四則運算，通過實數(shù)與“i”的基本的乘法與加法運算自然就產(chǎn)生了復(fù)數(shù)。于是，學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識從實數(shù)域擴(kuò)充到一個更大的領(lǐng)域——復(fù)數(shù)域。

解決完以上問題，趁熱打鐵，抽象概括復(fù)數(shù)的概念，構(gòu)建復(fù)數(shù)的表示形式：Z=a+bi（a，b∈R）。

事實證明，學(xué)生對復(fù)數(shù)概念模糊，相當(dāng)程度上是因為對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的理解不到位。因此要強(qiáng)化實部與虛部的概念。學(xué)生常易在虛部的概念上出錯，要特別舉例說明。

既然實部、虛部共同決定復(fù)數(shù)，學(xué)生很自然地就可以想到根據(jù)實部、虛部的取值的不同，對復(fù)數(shù)分類。通過對復(fù)數(shù)分類，加深對復(fù)數(shù)代數(shù)形式的認(rèn)識，與此同時還能使學(xué)生體會復(fù)數(shù)和實數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。

一個復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）有實部有虛部，就可確定一組有序?qū)崝?shù)對（a，b），同時，一組有序?qū)崝?shù)對確定一個復(fù)數(shù)，因此它們是一一對應(yīng)的。幫助學(xué)生理解好了這個對應(yīng)關(guān)系，對于兩復(fù)數(shù)相等的問題以及復(fù)數(shù)的幾何意義問題，學(xué)生就能輕松理解。因此復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是關(guān)鍵，后面三個問題都是復(fù)數(shù)代數(shù)形式的深化。

例題1：說出下列三個復(fù)數(shù)的實部、虛部，并指出它們是實數(shù)還是虛數(shù)，如果是虛數(shù)，請指出是否為純虛數(shù)：（1）

3+4i；（2） ；（3）-7。以此例理解鞏固復(fù)數(shù)的基本

概念及分類。

例題2：設(shè)x，y∈R，且（x+2）-2xi=-3y+（y-1）i，求x，y的值。以此例理解鞏固當(dāng)且僅當(dāng)實部與虛部都相等時，兩個復(fù)數(shù)相等。同時指出，虛數(shù)一般不比較大小。

復(fù)數(shù)與點的一一對應(yīng)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想向量的知識，同時類比實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生理解復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的一一對應(yīng)關(guān)系，引出復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)模的概念。通過例題3，在復(fù)平面內(nèi)表示下列復(fù)數(shù)，并分

別求出它們的模：（1）-2+3i；（2） ；（3）3-4i；

（4）-1-3i。對學(xué)生進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想。

隨后，根據(jù)學(xué)生在處理課本上的練習(xí)產(chǎn)生的問題，及時糾正并加強(qiáng)概念的理解。

最后，師生共同小結(jié)，一是以符號或圖形的形式表示擴(kuò)充后的數(shù)集，二是總結(jié)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及相關(guān)概念。

整節(jié)課在學(xué)生解決一個又一個問題的過程中層層遞進(jìn)，步步深化。順著六個問題組成的線索，復(fù)數(shù)的概念清晰可見，從而為學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的表示、復(fù)數(shù)的運算及后繼知識奠定了堅實的基礎(chǔ)。

〔責(zé)任編輯：李冰〕