《二次函數的復習》案例

如何讓數學課教學更有效，對于每一位數學老師來說，是最關心的問題。但是，如何上好每一節數學課，使學生在課堂上最大限度地掌握知識，提高數學成績，確實需要我們精心設計，不僅在內容上精益求精，在激發學生的學習興趣，學習激情等方面都要有很深地研究。下面以《二次函數的復習》這一課為例，基于教學的有效性原則，談談我對這堂課的教學設計。

一、基礎知識復習

步驟（1）先畫一個基本圖形

師：這是什么圖像？

生（全體）：拋物線；

師：它所對應的是什么函數？

生（全體）：二次函數；

師：該函數的一般形式是什么？

生（全體）：一般形式是：y=ax+bx+c（a≠0）。

【設計目的】通過圖像，更好更直觀地幫助學生記憶知識點。

步驟（2）通過該拋物線的圖像的特征，你可得到哪些結論？并說明理由。

生1：因為開口向上，所以a>0圖像與y軸交于負半軸，所以c<0。

師：那你能指出b的符號嗎？

該生有點遲疑，教師適時引導。

（通過對稱軸在y軸的右側和a的符號，就可以判斷出b<0）

生2：因為圖像與x軸有兩個交點，所以△>0。

教師根據學生的回答，歸納二次函數與x軸的交點個數與 △=b2-4ac的關系：

（a）圖像與x軸有兩個交點，則△>0；

（b）圖像與x軸有一個交點，則△=0；

（c）圖像與x軸有一個交點，則△<0。

步驟（3）已知A（-1，0），B（3，0），現在你又可以得到哪些結論？

生3：對稱軸為直線x=1；a-b+c=0；a+b+c<0。

師：由圖像的形狀，你還可看出什么？

生4：增減性。當x？燮1時，y隨著x的增大而減少；

當x≥1時，y隨著x的增大而增大。

師：你能根據已知條件求出該二次函數的解析式嗎？

生（全體）：不能，還需要知道一個點。

步驟（4）已知與y軸的交點C為（0，-3），請求出該拋物線的函數解析式。學生在下面做，教師巡視。然后，叫兩位做法不一樣的學生上去板演。下面是兩種不同的解法。

解法一：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）分別代入上式

得a-b+c=09a+3b+c=0C=-3解得a=1 b=-2c=-3

∴所求的拋物線的解析式為y=x2-2x-3

解法二：設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），把C（0，-3）代入上式，得-3a=-3，解得a=1

∴所求的拋物線的解析式為y=（x+1）（x-3）即y=x2-2x-3

讓學生上去板演的目的：（1）體現一題多解思想，打開學生解決問題的思路。

（2）注意書寫的規范和步驟的嚴密。

步驟（5）請求出該拋物線的頂點坐標，并寫出頂點式。該拋物線可由怎樣的二次函數經過平移得到。

【設計目的】復習如何求頂點坐標，一般式化頂點式，以及平移的知識點。

二、知識點的綜合運用

問題1 請在拋物線的對稱軸上找點P，使得AP+CP的長度最小。

分析：AP=BP，則AP+CP=BP+CP，當C、P、B三點共線時，BP+CP長度最小，即AP+CP的長度最小。此時P點就是直線CB與對稱軸的交點。

問題2 在拋物線上找點P，使得△BCP是直角三角形，其中以BC為直角邊。

情況一：∵CD=，CB=3，BD=2，∴△BCD是直角三角形，其中∠BCD=900，∴P點的坐標為（0，-3）

情況二：如果所示，易得∠EBO=450，則△EBO是等腰直角三角形，∴E點的坐標為（0，3），則直線BE的解析式為y=-x+3

∴P點的坐標為（-2，5）

問題3 求出△BCD面積

其中，H就是直線CB與對稱軸的交點。

【設計目的】第二種方法不是教材中要求掌握的，它出自于課時特訓，但它卻是一種很不錯的方法，也應用很廣，有必要值得我們學生去了解和掌握。這有助于提高學生的解題能力。

問題4 請在位于x軸下方的拋物線上找點M，使得△BCM面積最大。

【設計目的】動點問題是近幾年中考的熱點問題，同時也是學生難掌握的題型，所以有必要多接觸這種題型。在這題中又把上題剛剛提到的面積公式再重溫了一下，及時鞏固新知。

問題5 求四邊形ACDB的面積

方法一：利用CB分割成兩個三角形。

方法二：利用y軸、對稱軸分成三部分。

本題實際上是剛才問題3的拓展和延伸

問題6 在x軸上找點F，在拋物線上找點G，使得四邊形FGAQ是平行四邊形。其中Q是C關于對稱軸的對稱點。

分析：有四種情況。通過幾何畫板來演示，這是解決有多種情況的問題的很好的手段。

【設計目的】本題用到了重要的數學思想——分類討論思想。這種題型也是近年中考的熱點問題之一，特別會出現在中考壓軸題中。由于情況多樣復雜，使得解題變得困難，學生往往都不能完整解答。所以在平時教學中應加強訓練，掌握解這種題型的技巧。

教后反思

這是一節二次函數的復習課。由于這一章節內容含量大，而且知識又復雜，所以對學生來說，是比較不容易學好的一章內容。所以，教師不管在上新課還是上復習課都要引起足夠的重視。特別是復習課，它是對這章內容的再歸納和總結，尤為重要。