不等式恒成立問題常用方法

不等式恒成立問題是高中數學中一種非常典型的一類題型。在各類考試中，都會經常遇到這個問題，而且也是近年高考的一個熱點，近幾年的高考題已經連續多年出現。對一部分同學說，覺得很難，或者感到無從下手。其實，恒成立問題，只要看透它，就顯得非常容易了！筆者在平時的教學過程中，對這類問題作一歸納和總結，現提供給大家作以參考！

我們首先要明確這三類題的區別：

問題1是給定集合M為不等式的解集。解集的意思是所有滿足不等式的x的集合，即M應和解集是相等關系；

問題2不等式在給定集合M上有解。即只在M中有使不等式成立的元素即可，即解集與M有公共元素即可；

問題3不等式在給定集合M上恒成立。即只要M內的元素都能滿足不等式即可，但這里M也不一定是不等式的解集，而只需是解集的子集。

通過這個例題不僅說明不等式的解集、有解、和恒成立的區別與聯系，同時也給我們提供一種解解決恒成立的方法，我們稱之為子區間法。

一、子區間法

當恒成立的不等式的解易于求出時一般適合應用子區間法。2008年全國1卷的第21題的第二問所提供的參考答案就是用的此種方法。

二、利用函數的最值

先看一下原理：

設函數對定義域內的任一x均成立。我們從函數的角度去分析。令，在同一坐標系中作出它們的圖象如圖；由圖可知，當且僅當a小于f（x）的最小值時，才能滿足對于定義域內的任一x均有，即

由此可以看出，本類問題實質上是一類求函數最值問題。

最值法一般適用于函數的最值易于求出時（可能與參數有關，但情況較少時）或最值的求出與參數無關時。

三、分離參數法

分離參數法一般適合于最值不易求出（與參數有關），同時又比較易于分離參數的情況。

四、根的分布法

事實上，例4我們還可以用如下的方法進行求解：

根的分布法一般用于最值與參數有關且參數不易分離，且是關于二次不等式在某個區間內的恒成立。2008年全國1卷的第21題若用此方法會顯得非常簡單，請讀者試試。

五、二次函數在實數域內的恒成立

這種方法適用于二次函數在整個實數域內恒成立的情況。

六、改變主變元法

改變主變元法中的主元的選擇是已知誰的范圍（實質就是關于誰的恒成立問題），就把誰當作主變元。改變主元法在處理不等式的恒成立時的功效非常獨特。

七、圖象法

分析：本題其實也是一個恒成立問題，題中的意思是說，函數f（x）< 在區間x∈（-1，1）中恒成立。

解：由f（x）=x2-ax< ∴x2- 1時，只有a≤2才能保證，而0

圖象法一般用于當含參數不等式是超越不等式且參數不易分離的恒成立，經常應用圖象法。在應用時，注意體現了臨界狀態（區間端點是研究的臨界，大于、小于的臨界是相等）和運動觀點來處理含參數問題。

希望以上的各種方法，能給讀者的學習提供一點點幫助。