用“兩角相等”證三角形相似

摘 要 在應用相似三角形判定時，我們經常用到“兩個三角形中，有兩個角對應相等，則這兩個三角形相似”這一判定。下面我就用這一判定，來探究下列問題。

關鍵詞 三角形相似；兩角相等；中學教育

如圖，B、P、C在一直線上，若∠B=∠C=∠DPE，DP交AB（或AB延長線）于點F，PE交CA或其延長線于E，則△BPE～△CEP。

證明：∵∠B=∠C=∠DPA

則∠1+∠2=∠1+∠3，∴∠2=∠3

∴△BPF∽△CEP

舉例說明：

例1：（2012，成都）如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，OB=2OA，點A的坐標（-1，2），求點B的坐標。

解：分別過A、B作X軸的垂線，垂足分別為C、D，

易得到△AOC～△OBD，很容易求得B（4，2）。

例2：如圖，△ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=900，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q。

（1）如圖①，當點Q在線段AC上，且AP=AQ時，求證△BPE≌△CQE。

（2）如圖，當點Q在線段CA的延長線上時，求證：△BPE～△CQE；并求當BP=a，CQ=a時，P、Q兩點間的距離（用含a的代數式表示）。

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=450，AB=AC，

∵AP=AQ，∴BP=CQ

∵E是BC的中點∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中，

∵BE=CE∠B=∠C

∴△BPE≌△CQE

BP=CQ

（2）∵△ABC和DEF是兩個全等的等腰直角三角形，

∴∠B=∠C=∠DEF=450，

∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C

∴∠BEP=∠EQC

∴△BPE∽△CEQ，∴=

∵BP=a，CQ=a，BE=CE=a，

∴AB=AC=BC·sin的450=3a

∴AQ=CQ-AC=a，BA-BP=2a，

連接PQ，在Rt△APQ中，PQ==a

練習：

（2012夏門）△ABC中，AB=AC，D為BC邊中點，以D為頂點作∠MDN=∠B。

（1）如圖①，當射線DM經過點A時，DN交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形；

（2）如圖②得∠MDN繞點N沿逆時針方向旋轉，DM、DN分別交線段AC、AB于E、F點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論。

（3）在圖③中，若AB=AC=10，BC=12，當△DEF的面積等于△ABC面積的時，求線段EF的長。

利用上述條件證明兩三角形相似，在近幾年中考試題中經常見到，在今后的學習中再見到此類的題目，我們就應該想到用相似的知識來解決此類問題。