求三角函數的最小正周期的4種方法

摘 要 研究周期性，必須先研究三角函數的周期，本文介紹了求三角函數周期的四種常用方法。

關鍵詞 公式；函數

三角函數的周期性與單調性、奇偶性等一樣，都是三角函數十分重要的性質。研究周期性，必須先研究三角函數的周期，這里介紹求三角函數周期的四種常用方法，供同學們參考。

一、公式法

一般地函數y=Asin（？棕x+？準）+h及y=Acos（？棕x+？準）+h（其中 A，？棕，？準為常數，且A≠0，？棕>0）的周期為T=；y=Atan（？棕x+？準）+h（其中A，？棕，？準為常數，且A≠0，？棕>0）的周期為T=。

推廣到一般函數：若函數y=f（x）的最小正周期為T，則函數y=Af（？棕x+？準）（其中A，？棕，？準為常數，且A≠0，？棕>0）的最小正周期為

例1.求下列函數的最小正周期

【點評】如果不加以說明時，求函數的周期一般指求函數的最小正周期。在用公式求正周期時，要注意自變量系數的正負。

二、定義法

一般地，對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得定義域內的每一個x值，都滿足f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就叫周期函數，非零常數T叫這個函數的周期。這個定義在證明周期函數和求函數周期時經常用到，請同學們要認真掌握。

例3.求函數f（x）=sinx+cosx的最小正周期。

解析：設函數f（x）=sinx+cosx的最小正周期為T，則有f（x+T）=f（x）。對x∈R，恒有sin（x+T）+cos（x+T）=sinx+cosx，令x=0得sinT+cosT=1，兩邊平方得|sin2T|=0，即2T=K？仔（k∈Z）取k=1，則T=。

例4.已知函數f（x）對任意x都有f（x+2）=-f（x），求函數f（x）的周期。

解析：因為f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）= -[-f（x）]=f（x），所以函數f（x）的周期為4。

點評用定義法求函數的周期，若函數是一個具體的解析式，可以用待定系數法，即先設出函數的周期T，然后再利用周期函數的性質求出周期T；若函數是一個抽象函數，則根據所給的條件進行變形、推導、直到推出f（x+T）=f（x），求出T為止。

三、圖像法

函數的周期性，表現在函數的圖像上便是圖像“循環”的出現，因此我們可以根據觀察函數的圖像求函數的周期。

例5.求函數y=|sinx|的最小正周期。

解析：作出函數y=|sinx|的圖像如下：

故函數的最小正周期為？仔。

點評用圖像法求函數的周期，要注意觀察圖像的關鍵點，如最高點、最低點與x軸的交點，通過關鍵點“周而復始”的出現，觀察出函數的周期。

四、轉化法

對所給的三角函數通過恒等變形轉化為標準形式，并運用公式法加以解決，這是近年來高考考查三角函數最小正周期的熱點。

例6.求函數y=（sinx+cosx）+2cosx的最小正期。

解析：y=1+sin2x+2cosx=sin2x+cos2x+2

=sin（2x+）+2

故最小正期T=？仔

點評利用所以學的三角函數知識進行轉化，是轉化法的關鍵。