函數定義域與學生的思維品質

摘 要 函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終，函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域（或變量的允許值范圍所組成的集合）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。

關鍵詞 函數；定義域；思維品質；解題

思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現，它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質，函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終.函數的定義域是構成函數的三大要素之一，函數的定義域（或變量的允許值范圍所組成的集合）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途.在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的，本文就常見的函數解題與函數定義域的密切解析以具體案例的形式展開論述。

一、函數解析式與定義域

函數解析式包括定義域和對應法則，所以在求函數的解析式時必須要考慮所求函數解析式的定義域，否則所求函數解析式可能是錯誤的。

案例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數解析式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：

S=x（50-x）

故所求函數的解析式為：

S=x（50-x）

如果解題到此為止，則本題的函數解析式還欠完整，缺少自變量x的范圍，也就說學生的解題思路不夠嚴密，因為當自變量 x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍：0

即：函數的解析式為：

S=x（50-x）（0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響.若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性，若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

二、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。

案例4：指出函數f（x）=（x+2x）的單調區間。

解：先求定義域：

∵x+2x>0 ∴x>0或x<-2

∴x函數定義域為（-∞，-2）∪（0，+∞）

令=x+2x，知在x∈（-∞，-2）上時，u為單調遞減的，在x∈（0，+∞）上時，u為單調遞增的。

又∵f（x）=[0，+∞）是增函數.

∴函數f（x）=（x+2x）在（-∞，-2）上是單調遞減的，在 （0，+∞）上是單調遞增的。

即函數f（x）=（x+2x）的單調遞增區間（0，+∞），單調遞減區間是（-∞，-2）

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

三、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談.否則要用奇偶性定義加以判斷。

案例5：判斷函數y=x，x∈-1，3的奇偶性。

解：∵2∈-1，3而-2？埸-1，3

∴定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱

∴函數y=x，x∈-1，3是非奇非偶函數。

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性。

如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：

∴函數y=x，x∈-1，3是奇函數。

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

綜上所述，在求解函數解析式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而培養學生思維的創造性。

參考文獻：

[1]嚴士健，王尚志等.普通高中課程標準實驗教科書數學1（必修）[M].北京師范大學出版社，2007.

[2]羅增儒.數學解題學引論[M].陜西師范大學出版社，2001.