關于定積分在經濟學中積累問題的應用

摘 要 定積分在經濟學中有著廣泛的應用，本文通過幾個例子說明定積分在經濟學的簡單應用。

關鍵詞 定積分 經濟學 積累問題

中圖分類號：F224 文獻標識碼：A

About the Application of Definite Integral

Accumulated Problems in the Economics

CHEN Kun， LIU Yating

（Department of Mathematics， Xingyi Normal University for Nationalities， Xingyi， Guizhou 562400）

Abstract Definite integral has been widely applied in economics， the paper through a few examples to talk about definite integrals' simple applications in economics.

Key words definite integral； economics； long-standing and deep-seated prolems

定積分是微積分學的重要組成部分，同時在經濟學中有很多直接的應用，本文將運用定積分知識分析和解決某些經濟學中的積累問題。

1 利用定積分求消費者剩余和生產者剩余

經濟學中定義消費者剩余是指消費者消費某種商品所獲得的凈收益，消費者在購買商品是有愿意付出的貨幣總額，還有一實際付出的貨幣總額，在一般情況下，消費者愿意付出的貨幣總額大于實際付出的貨幣總額，其間形成一個差額，這就是消費者剩余，用定積分的形式表示就是

（）

其中 （）表示消費者為每一個單元商品所愿支付的最高邊際價格，當價格為時，消費者共購買了單元的商品。

同樣在經濟學中定義企業從生產經營中得到的凈收益為生產剩余，用定積分的形式表示就是：

（）

其中（）表示廠家的邊際成本函數，當價格為時，消費者共購買了單元的商品。

例1.已知壟斷廠商的邊際成本函數為 = 10 + ，市場的逆需求曲線為 （）= 40，求市場均衡時的消費者剩余和壟斷廠家的生產剩余。

解：壟斷廠商收入函數為（）= （）· = 400，由此得邊際收益為 = = 403，再由壟斷廠商的利潤最大化的一階條件，解得市場均衡價格和均衡產量分別為 = 31， = 3，這樣求得消費者剩余為：

= （） = （40）31 €？3 = 18

生產者剩余為：

= （） = 31 €？3 （10 + ） = 58.5

2 利用定積分求邊際函數和總函數

給定一個總函數，取微分則會得到該函數的邊際函數，由于積分過程與微分過程互逆，所以我們可以從已知的邊際函數和初值條件導出原函數，即：

（） = （） + （）

這一方法廣泛運用于總成本函數與邊際成本，總收益函數與邊際收益函數，總儲蓄與邊際儲蓄等函數的計算。

例2.已知邊際成本為= 7 + ，固定成本為1000，求總成本函數。

解：= + = 1000 + （7 + ） = 1000 + 7 + 50

3 利用定積分由變化率求總量函數

如果求總函數在某個范圍的該變量，則直接采用定積分來解決。

例3.已知某產品總產量的變化率為 = 40 + 12，求從第5天到第10天產品的總產量。

解：所求得總產量為：

= = （20 + 12） = = （400 + 600）（200 + 150） = 650

4 利用定積分求收益流的現值與將來值

若以連續復利率計息，現將個單位的資金存入銀行，七年后的價值（將來值）。

=

若年后得到個單位的資金，則現在需要存入銀行的金額（現值）。

=

若一筆收益流的收益量為，則從現在開始（ = 0）到年后這一時間段（以年連續復利計息）。

收益流的現值 =

收益流的將來值 =

例4.設一收益流的收益流量為10萬元/年，在10年這一時間段的現值為80萬元，若以年連續復利率計息。

（1） 求。 （下轉第220頁）（上接第217頁）

（2） 求收益流的將來值。

解：（1）依題意10 = 80，即：（） = 80

解得≈0.04。

（2）求收益流的將來值。

10 = 10 = 250（） （萬元）。

從以上幾個例子我們可以看出：定積分的計算是經濟學中常用的計算方法，在很多實際的經濟問題中有著廣泛的應用。

參考文獻

[1] 吳傳生.經濟數學——微積分[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 趙勝民.經濟數學[M].北京：科學出版社，2011.