矩陣左半張量積的一些重要性質(zhì)

摘 要 文章對矩陣的一種新的乘法運(yùn)算——左半張量積，進(jìn)行了探討，獲得了一些新的性質(zhì)，得到了一些重要的結(jié)論。

關(guān)鍵詞 左半張量積 換位矩陣 行展開 列展開

中圖分類號：O151 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Some Important Properties of the Left-semi-tensor Product of Matrices

LI Dongfang

（Xuchang Electric Vocational College， Xuchang， He'nan 461000）

Abstract This paper analyzes a new operation of matrices--the left-semi-tensor product， obtains some new properties and important conclusions.

Key words left-semi-tensor product； commutation matrix； row stacking； column stacking

0 引言

矩陣的左半張量積是中科院系統(tǒng)所程代展研究員在文獻(xiàn)[1]中首次提出，它是普通矩陣乘法的推廣。對于普通矩陣，矩陣，可乘只有的列數(shù)與的行數(shù)相等才可以，而矩陣的左半張量積把矩陣乘法推廣到的列數(shù)與的行數(shù)滿足倍數(shù)關(guān)系就可以相乘，這使得這種新的乘法應(yīng)用領(lǐng)域更廣。它在微分幾何、抽象代數(shù)、數(shù)理邏輯、動態(tài)系統(tǒng)的對稱性以及工程非線性等問題中已經(jīng)找到自己的應(yīng)用，并且其應(yīng)用領(lǐng)域在不斷擴(kuò)大。因此，研究其性質(zhì)是很有必要的，在理論上有價值，在現(xiàn)實中也有意義。

1 預(yù)備知識

定義1：（1）設(shè) = （，…）是一個行向量， = 是一個列向量。

第一種情況：如果是的因子，即 = €？，則和的左半張量積定義為一個維數(shù)為的行向量

€I# =

這里 = （，，…，），且 ， = 1，2，…，。

第二種情況：如果是的因子，即 = €？，則和的左半張量積定義為一個維數(shù)為的列向量

€I# =

（2）設(shè)，，如果是的因子或者是的因子，則稱 = €I#是和的左半張量積，如果由個塊組成，即 = （），并且 = €I#， = 1，…， = 1，…，。

當(dāng)定義中 = 時，向量的左半張量積就變成標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積；當(dāng) = 時，矩陣的左半張量積就退化成普通矩陣乘法。因此說左半張量積是普通矩陣乘法的推廣，除非為了強(qiáng)調(diào)左半張量積，否則我們文中將會省略乘法符號€I#。所有省略符號的矩陣乘法都看作是左半張量積，普通的矩陣乘法只是它的一種特殊情況。

給定矩陣（），記為的轉(zhuǎn)置，（）為矩陣的列展開，（）為矩陣的行展開，為換位矩陣。我們有如下引理：

引理1：（）= （），（）= （）。

引理2：設(shè)，那么（）= （），（）= （）。

引理3：設(shè)，，，那么（）= €I#（），（） = €I#（）。

2 主要結(jié)論

定理1：設(shè)，則有（1）（）= （），（2）（） = （）。

證明：（1）由引理2知，（）=（），兩邊同時左乘得，（）=（），由于是單位矩陣，所以有（）= （）。由引理1：（）= （），從而有（） = （）。

（2）由引理2知，（）=（），兩邊同時左乘得，（）=（），由于是單位矩陣，所以有（）=（）。由引理1：（）=（），從而有（） = （）。

定理2：給定矩陣，（1）設(shè)是一個列向量，則有 = ；（2）設(shè) 是一個列向量，則有 = （）。

證明：（1）由引理3：（）=€I#（）可得：（） = €I#（）。兩邊取轉(zhuǎn)置： = = €I# = €I# = 。考慮到是1 €？維行向量，則（）是 €？1維列向量， = ，從而有 = 。

（2）由引理3：（） = €I#（）可得：（）= €I#（）。 考慮到為 €？1維列向量，（） = ，從而有 = （）。

定理3：設(shè)，，，則有（1）（） = （）；（2）（）= （）。

證明：（1）（） = （） = €I#€I#（） = €I#€I#€I#（）= （）。（2）（） = （） = €I#€I#€I#（） = （）

推論：設(shè)，，，那么（1）（） = （）；（2）（）= （）。

證明：（1）由引理3和定理3可得，（） = €I#（） = €I#€I#€I#€I#（）= （）；（2）由引理3和定理3可得，（）= €I#（）= €I#€I#€I#€I#（）= （）。

3 結(jié)束語

矩陣的左半張量積是一種新的矩陣乘法，在處理許多問題中它是一種有力的工具，通過文中對其性質(zhì)的研究，可以看出，矩陣的左半張量積在很大程度上繼承了普通矩陣乘法的性質(zhì)。 因此，在理論上和實際應(yīng)用中，它的優(yōu)越性會越來越明顯，具有廣泛的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)

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