談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教材中的分類思想

摘 要 分類思想是數(shù)學(xué)思想方法中的一種。數(shù)學(xué)概念、法則、公式等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數(shù)學(xué)分類思想?yún)s隱含在數(shù)學(xué)知識體系中，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節(jié)中。我們教學(xué)時，應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，教會學(xué)生運用分類思想去解決各種問題。

關(guān)鍵詞 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 分類思想 知識體系

初中數(shù)學(xué)中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法很多，最基本的數(shù)學(xué)思想方法有：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想、函數(shù)思想等。在這些基本思想方法中，分類討論的思想由于初中學(xué)生認(rèn)知能力、思維習(xí)慣、知識水平和教學(xué)內(nèi)容的限制，學(xué)生在運用的過程中感覺到特別困難，但分類思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中又有著極其廣泛的應(yīng)用，有必要對其特別加以重視。

分類思想作為數(shù)學(xué)思想方法中的一種，滲透于整個初中的數(shù)學(xué)教材體系中。通過分類可以使大量看似紛繁復(fù)雜的事物條理化、系統(tǒng)化，從而為我們深入研究學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件，提供便利可行的途徑。分類思想不僅在數(shù)學(xué)知識的概念學(xué)習(xí)中十分重要，而且在參數(shù)討論、數(shù)學(xué)證明、有關(guān)概率的計算中也起到了催化劑的作用。因此，對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類思想的應(yīng)用進行整理，對分類思想在學(xué)生思維上起到的作用進行研究，不僅能夠加深對數(shù)學(xué)思想方法滲透于教學(xué)的理解和應(yīng)用，更對提高教學(xué)效率，優(yōu)化教學(xué)方法有著積極的指導(dǎo)作用。

數(shù)學(xué)概念、法則、公式等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而數(shù)學(xué)分類思想?yún)s隱含在數(shù)學(xué)知識體系中，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節(jié)中。在整個初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容中，從代數(shù)式到方程，不等式、函數(shù)、圖形變換、解直角三角形、圓等無不存在分類討論的題目。我們教學(xué)時，應(yīng)根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，教會學(xué)生運用分類思想去解決各種問題。

下面是筆者小結(jié)了人教版初中《數(shù)學(xué)》課本中七年級、八年級、九年級中包含分類思想的知識點。

七年級

知識點1 有理數(shù)的分類：有理數(shù)按定義可以分為整數(shù)與分?jǐn)?shù)；而按大小又可分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)。在有理數(shù)的應(yīng)用中時常需要就有理數(shù)的取值進行分類討論。

例題：“-一定是負(fù)數(shù)嗎？”啟發(fā)學(xué)生分>0， = 0，<0三種情況考慮。

知識點2 角的分類，小于180的角按大小可分成銳角、直角、鈍角等。

例：在同一平面上，∠AOB = 70€埃螧OC = 30€埃湎逴M平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的大小。（20€盎？0€埃ㄈ繽？、2）

圖1 圖2

知識點3 線段的大小的比較。在比較兩條線段與的大小時，“將甲線段AB移到乙線段CD的位置，使端點A與端點C重合，線段與線段疊合。”這時端點B可能的位置情況可分為三種，由此得到線段與的三種大小關(guān)系：

圖3

當(dāng)點B在線段CD上時；ABCD。

知識點4 角形的分類：在三角形中按角的大小進行分類可以分為銳角三角形、直角三角形，鈍三角形；而按邊的相等數(shù)來分又可以分成：（1）三條邊都不相等，即一般三角形；（2）有兩邊相等，即等腰三角形；（3）有三條邊相等，即等邊三角形。在三角形中又以等腰三角形中的分類討論的題型最多。

1、等腰三角形的兩邊為4，6，求該三角形的周長？

2、在△ABC中，∠B=25€埃珹D是BC上的高，并且，則∠BCA的度數(shù)為_____________。（答：65€埃？15€埃？

解析：因未指明三角形的形狀，故需分類討論。如圖4，當(dāng)△ABC的高在形內(nèi)時；如圖5，高AD在形外時，此時△ABC為鈍角三角形。

圖4 圖5

知識點5

絕對值的化簡

例題：在學(xué)習(xí)絕對值的定義時，要幫助學(xué)生概括出>0， = 0， <0時，應(yīng)如何表示。例如去掉∣∣中的絕對值符號。

知識點6 不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)2 不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。

根據(jù)不等式這個性質(zhì)在不等式的兩邊都乘或除以一個數(shù)時需要考慮到這個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。

知識點7 方案設(shè)計

在一些應(yīng)用題中，特別是所謂方案選擇，其實就是在某個變化過程中，自變量取不同的值，函數(shù)可以取不同的值，然后，按需要選出最佳方案。也就是，我們所說的分段函數(shù)。解這種題目，要特別注意分界點。把各個分界點的值找出來，然后，把各種不同的結(jié)果羅列出來，在根據(jù)實際情況，選擇最優(yōu)方案。例如：某中學(xué)需要刻錄一批電腦光盤，如果到電腦公司刻錄，每張需9元（包括空白光盤費）；如果學(xué)校自刻，除租用刻錄機需120元以外，每張光盤還需成本4元（包括空白光盤費）問刻錄這批電腦光盤，該校如何選擇才能使費用較少？

解：設(shè)需刻錄張光盤，到電腦公司需9元，自刻需（120+4）元，方案1：當(dāng)9>120 + 4時，即>24時，自刻費用較省。方案2：當(dāng)9 = 120 + 4時，即 = 24時，到電腦公司刻錄與自刻費用一樣。方案3：當(dāng)9<120 + 4時，即<24時，到電腦公司刻錄費用較省。

知識點8 點與直線的位置關(guān)系：①點在直線上；②點在直線外。

知識點9 直線與直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系有：①相交 ②平行。直線與直線的位置關(guān)系中分類討論的題型并不多見，但它本身就是一種分類。

知識點10 方程的分類，方程按未知數(shù)的個數(shù)可分成一元方程、二元方程、多元方程。

知識點11 帶絕對值符號的方程。

例：解方程：∣∣+∣∣= 5。

分析：該題是含有絕對值的方程，怎樣去掉絕對值的符號化為一般的一元一次方程為解題的關(guān)鍵。由絕對值的定義，求出各絕對值的零點：2，-3，把數(shù)軸分成三段：≥2，-3<<2，≤-3，就可去掉絕對值轉(zhuǎn)化為我們能解的方程。該題通過分段討論，將一個復(fù)雜的含絕對值的問題轉(zhuǎn)化為不含絕對值的方程求解。

八年級

知識點12 實數(shù)的分類：實數(shù)按定義可以分為有理數(shù)與無理數(shù)；而按大小又可分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)。在實數(shù)的應(yīng)用中時常需要就有理數(shù)的取值進行分類討論。

知識點13 四邊形的分類：在四邊形中按邊的平行關(guān)系可分為：①兩組對邊都不平行，即一般四邊形；②只有一組對邊平行，即梯形③兩組對邊分別平行，即平行四邊形，而平行四邊形中又可分為一般平行四邊形和特殊平行四邊形：矩形、菱形、正方形等。

知識點14 方程的分類，方程按未知數(shù)的個數(shù)可分成一元方程、二元方程、多元方程；按未知項的次數(shù)可分為一次方程、二次方程、高次方程等。在方程中常常對未知數(shù)前面的字母系數(shù)的取值分類討論。

知識點15 一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)。

一次函數(shù) = + （≠0）的圖像與、的符號有關(guān)，可分為四種情況：當(dāng)>0，>0時，直線 = + 經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)>0，且<0時，直線 = + 經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)<0，且>0時，直線 = + 經(jīng)過第一、二、四象限；當(dāng)<0，且<0時，直線 = + 經(jīng)過第二、三、四象限。

這時只需點撥學(xué)生發(fā)現(xiàn)、符號的四種可能情況，分類討論的結(jié)論學(xué)生已經(jīng)可以自己得出。

知識點16 函數(shù)的增減性，（1）在一次函數(shù) = + （、為常數(shù)，且≠0）中，如果>0，那么的值隨值的增大而增大；如果<0，那么的值隨值的增大而減小。（2）在反比例函數(shù) =/（k為常數(shù)，且≠0）中，當(dāng)>0時，雙曲線的兩個分支分別在第一、三象限，在每一個象限內(nèi)，隨增大而減小；當(dāng)<0時，雙曲線的兩個分支分別在第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，隨增大而增大。

知識點17 函數(shù)的分類，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)可分成正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等。

九年級

知識點18 二次根式的化簡

知識點19 一元二次方程根的判別式，一元二次方程 + + = 0（≠0），當(dāng)△= >0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△= = 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△= <0時，方程無實數(shù)根。

例：討論關(guān)于的方程 = 0的根的情況。

解：∵△= = ，所以分開三種情況討論：（1）>0，<1，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2） = 0， = 1，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）<0，>1，方程無實數(shù)根。

知識點20 函數(shù)的分類，初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)可分成正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)。

例：二次函數(shù) = + 3 + 1的圖像。

解：要根據(jù)>0， = 0，<0分類討論。

知識點21 點與圓的位置關(guān)系：①點在圓外；②點在圓上；③點在圓內(nèi)。

知識點22 直線與圓的位置關(guān)系：①相離；②相切；③相交。

知識點23 圓與圓的位置關(guān)系：①外離；②外切；③相交； ④內(nèi)切；⑤內(nèi)含。

知識點24 圓周角定理證明中的分類，分三種情況進行討論。①圓心在角的一邊上；②圓心在角的內(nèi)部；③圓心在角的外部。

圖6

例：如圖6， 初中課本第四冊證明圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

知識點25 中考綜合題（函數(shù)類）

例：已知拋物線 = + + 與軸交于A，B兩點，與軸交于C點，得到△ABC，試根據(jù)的取值范圍把△ABC按角分類。

根據(jù)圖7分析：該題可先從圖形的位置的不同分為兩類：拋物線與軸的交點在軸的同側(cè)，該三角形為鈍角三角形；拋物線與軸的交點在軸的兩側(cè)時，再分直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三類考慮。這時可以直角三角形為突破口，若△ABC為直角三角形，則OA·OB = OC2，由此得到若△ABC為鈍角三角形，則OA·OB>OC2，若△ABC為銳角三角形，則OA·OB

知識點26 中考綜合題（動點類）

例（2012.無錫）如圖8，菱形ABCD的邊長為2cm，∠BAD = 60€埃鉖從點A出發(fā)，以cm/s的速度，沿AC向點C做勻速運動；同時點Q也從點A出發(fā)，以1cm/s的速度，沿射線AB做勻速運動，當(dāng)點P運動到點C時，P，Q兩點都停止運動，設(shè)點P的運動時間為t（s），（1）當(dāng)點P異于A，C時，請說明PQ//BC；（2）以P為圓心，PQ的長為半徑作圓，請問：在整個運動過程中，t為怎樣的值時，⊙P與邊BC分別有1個公共點和兩個公共點。

解：（1）略。

（2）作三個示意圖。⊙P與BC相切；⊙P過點B；⊙P過點C，可以求出：當(dāng) =（46）s時，⊙P與BC相切；當(dāng) =1s時，⊙P過點B；當(dāng) =（3）時，⊙P過點C，當(dāng) = 2時，點P停止運動，⊙P過點B；綜合可得：①當(dāng) = 46或1<≤ 3或 = 2時，⊙P與邊BC有1個公共點；②當(dāng)46<≤1時，⊙P與邊BC有兩個公共點。

【啟示】：（1）通過上述問題的討論，分類討論的思想方法在初中數(shù)學(xué)教材中有著廣泛的應(yīng)用。在運用分類思想解題時主要步驟有：①分析題目中的已知條件，明確所要討論的對象，確定所要討論對象的全體；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進行合理分類，做到不重不漏，并力求最簡；③對所分類型進行逐級討論、求解；④歸納小結(jié)，得出最后的結(jié)論。（2）在初中階段，以下幾方面的題目要分類討論：①條件不明確，需分類的問題。如：求等腰三角形的邊、角問題。②求解過程不便統(tǒng)一表達的問題。③從函數(shù)圖像上獲取信息時，經(jīng)常要分類討論。如“分段函數(shù)”。④解關(guān)于圖形運動時的位置、變形的題目，需分類。⑤解方程時，特別是含有字母作為已知數(shù)的方程時，要分類討論。⑥解不等式時，特別是含有字母系數(shù)的不等式。（3）作為數(shù)學(xué)教師，一定要深入鉆研教材，把蘊含在各個章節(jié)中分類思想明確教授給學(xué)生，并結(jié)合當(dāng)時的教學(xué)內(nèi)容加強訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、整體性。慢慢學(xué)會整體考慮，化整為零，分別對待，各個擊破的思維策略，這將會使學(xué)生終身受益。

參考文獻

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