體驗數學中的“類比”

【摘 要】在平時的教學過程當中，教師要引導學生大膽地類比猜想，并幫助學生嚴謹縝密地證明類比歸納出的正確結論，讓學生從中體驗數學的奧秘，從而培養學生的發散思維能力和創新能力。本文結合教材中的實例和生活中的實例談談高中數學中的“類比”。

【關鍵詞】體驗類比；類比思想的培養

高中數學課程標準指出：“推理與證明是數學的基本思維過程，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”在具體解決問題的過程中，類比推理這一思維方法有助于培養學生發現、提出、解決數學問題的能力。在平時的教學中，教師要引導學生大膽地類比猜想，并幫助學生嚴謹縝密地證明類比歸納的正確結論，讓學生從中體驗數學的奧秘。

一、體驗教材中的類比

天文學家開卜勒曾說過：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學中它應該是最不容忽視的。”數學家拉普拉斯也說過：“甚至在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比。”在我們的數學課本中同樣也處處可感悟到類比的奇妙。

（一）由“類比”導入新課

用類比法引入新知識，可使學生更好地理解新知識的內涵與外延。在高中數學中，可通過類比引入的新課十分多。例如，我們在新授蘇教版必修3的幾何概型時，當教師首次將幾何概型的模型給出時，學生會誤認為古典概型，教師稍作點撥后，學生發現雖然每個基本事件的發生具有等可能性，但試驗中的基本事件有無限多個，類比古典概型的概率公式P（A）=，學生會發現m，n→+∞，也就沒法計算概率了，所以我們要尋求一種新的測度來求幾何概型的概率，這樣就很自然地引出了新課，學生會饒有興趣地去尋求新的辦法解決幾何概型的概率問題。這樣，也很自然地將知識建構的主動權給了學生，能更好地激發學生學習數學的積極性。

（二）由“類比”新授知識

數學課程標準強調：以教師為主導，以學生為主體，激發學生已有的知識經驗和潛能，讓學生成為知識的占有者和探索者。在實際的教學中能體現這一新精神的方法很多，其中類比法特別受學生的青睞。在圓錐曲線教學中，雙曲線新課教學可與剛學過的橢圓知識進行類比。在蘇教版必修5的數列教學中，每研究一個等比數列問題基本上都是類比等差數列進行的。先是類比等差數列研究最基本的通項公式和求和公式，再是類比研究一些重要性質。

其實，在數學教材中，很多新知識都是在已學知識的基礎上發展而來的，因而在這些新知識中多少都會帶有舊知識的影子。在授課時，有意識地引導學生對舊知識進行回憶、類比，給學生創造思維的環境。可以使學生猜想出新授知識的內容、結構、研究思想與方法。激發學生的積極性，變被動聽為主動學。

（三）由“類比”靈活解決新問題

在高三的復習中學生遇到過這樣的問題：

數列{an}滿足a1=1，an+an-1=（）n（n≥2），Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n，求3Sn-an·2n+1。大部分學生都對該問題束手無策，但是假如學生能類比課本中推導等比數列的前n項和公式的方法（錯位相加法）得到以下兩個式子：

Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n；

2Sn=a1·22+a2·23+…+an·2n+1

兩式相加就很快解出答案是n+1。

二、體驗現實生活中的類比

在一次研究性學習中，一學生舉了一個有趣的例子：自然界有很多小動物受到外界的攻擊時，都會縮成一團（盡量縮成球狀），包括人，受到外界攻擊時，本能反應也會抱頭一縮，他問誰能解釋一下這一自然現象。頓時教室里鴉雀無聲，大家對這位同學的這個問題覺得很好奇。生活中確實見過不少例子，比如毛毛蟲、刺猬等小動物，去動動它們，它們立馬縮成一團，可除了生物學家，誰知道里面的奧妙呢？這位學生將他將他的學習成果用實物投影展示出來。他說：“請問用同一根繩子在草地上圍一塊正三角形草坪、正方形草坪、圓形草坪，哪塊的面積最大？哪塊最小？”大家都知道圓面積最大，三角形面積最小。這位學生提出新的問題：請問表面積相等的正四面體、正方形、球誰的體積誰最大？誰最小？類比平面知識大家發現：若表面積為定值a，通過計算發現，球的體積最小。將上述知識聯系生活實例，終于發現：小動物受到攻擊時縮成一團，可以盡量減小自己的體積。這樣就減少被攻擊的可能，太神奇了！這位學生從一個平面幾何結論類比到了立幾中的三個表面積相等的幾何體的體積大小關系，還將知識與自然界的生物現象聯系起來。事實上，生活中的一些重要理論，最初都是通過類比推理提出的，科學家的重大發現，最初也是通過類比推理提出的。惠更斯提出的波動說，這是與水波、聲波類比而受到的啟發。魯班從樹葉的鋸齒形狀發明了鋸子，從風箏的飛起類比到飛機上天等等。

三、類比思想的培養

運用類比推理去研究數學問題，有利于提高學生的創造性思維。類比得到的命題不一定是真命題，帶有猜測的性質，盡管類比出的結論不一定真實，但它畢竟是學生思考過程的體現，可以幫助學生尋到解決問題的方法和途徑。因此我們要重視培養學生的類比思想，我們將類比思想滲透于教學環節時，一定要以學生為主，要肯定學生，不要一味追究類比猜想的結論的真假。例如在學等比數列的性質時，學生由結論“若Sn是等差數列{an}的前n項和，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）也成等差數列。”類比得出結論“若Sn是等比數列{an}的前n項和，則Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）也成等比數列。”的時候，教師可以通過舉反例“1，-1，1，-1，…”來說明這里的Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…（k∈Z）可能為零。

【參考文獻】

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[4]新世紀教師教育叢書——教育新理念

[5]普通高中數學課程標準

（作者單位：江蘇省外國語學校）