基于熱源法的烤盤形狀優化研究

摘 要：建立了多邊形烤盤頂角處熱量的分布模型，說明了用矩形烤盤烘烤食物時烤盤頂角處的食物容易烤焦的原因。建立了從長方形到圓形的過程中，烤盤邊數與頂角處熱量分布情況的關系模型，說明了烤盤的邊數越多，熱量在烤盤頂角處分布越均勻。并通過烤箱長寬比、烘烤食物質量的權重與烤盤形狀選擇之間的數學關系，建立烤盤形狀優化模型。運用發熱法模擬出烤箱內的溫度場，結合烤箱內的溫度分布，針對不同的實際情況，選擇不同形狀的烤盤。

關鍵詞：熱源法；牛頓法；傅里葉變換；蜂巢仿生

1 引言

2 模型建立與研究

2.1 矩形烤盤內部的溫度場分布

根據熱傳播定律可知，受熱點的溫度隨著受熱點到發熱源的距離r的增大而減小。由于鍋壁的厚度遠遠小于受熱點到鍋壁的距離，因此，可將鍋壁近似看作是一個發熱的平面。由于各壁之間的熱輻射是相互的，且當距離足夠遠的情況下，壁與壁之間的相互影響可以忽略不計。

我們采用了兩種方法來模擬烤盤內熱量的分布：最速下降法和牛頓法[1]。最速下降法是以負梯度方向的極小化算法，相鄰兩次的搜索方向是相互直交的尋找目標函數法。牛頓法利用目標函數f（x）在迭代點Xk處的Taylor展開式作為模型函數，并利用這個二次模型函數的極小點序列去逼近目標函數的極小點。

通過對烤盤內部溫度場分布的仿真，可以得出，矩形烤盤內，由于烤盤內部頂角處熱量分布不均勻，越靠近頂點的位置，分布的熱量越多，因此在用矩形烤盤加熱食物時，食物在加熱過程中會接收較多的輻射熱，食物會很容易烤焦。

隨著受熱點到發熱源的距離r的增加，受熱點的溫度以指數函數遞減。對于規則的幾何圖形來說，在角的對角線上，熱量的分布延角平分線遞減[2]。而頂點處兩條邊的法線之間的部分則為兩發熱源共同作用的部分，熱量高于各邊單獨作用的部分。

通過建立正多邊形烤盤頂角處熱量分布均勻程度與多邊形邊數的函數關系，說明正多邊形的邊數越多，在頂角處熱量分布越均勻，也就是烤盤的形狀從矩形到圓形的變化過程中，烤盤頂角處的熱量分布越來越均勻。

2.2 烤盤形狀優化模型

此外，由于任何一種正多邊形都有頂角，因此，在頂角處必然存在的熱量分布不均的情況，為了盡量減小熱量分布不均的情況，在設計時可以用圓弧對頂角進行代替。

2.3 熱源法求解烤箱溫度場

在實際生活中，在烤箱中，由于烤箱內部空間上的點距離烤箱內壁之間的距離不同，因此在烤箱周圍存在一定的溫度差。通過運用熱源法對烤箱中的溫度場進行模擬，更加真實的反應現實中的情況，使模型有了進一步的優化。

同理，只要對相應的時間變量或空間變量進行積分，就可以得到持續或瞬時發熱的無限長線熱源、無限大面熱源、有限長線熱源、有限大面熱源等典型熱源的溫度分布，甚至連運動熱源也可以進行求解。

通過進行計算機仿真，可以得出烤箱內部空間的溫度場分布如圖所示：

3 結束語

通過對建立多邊形頂角熱量分布均勻程度的模型，并分析了頂角熱量分布均勻程度與正多變形邊數之間關系，從而得出從矩形到圓形的過程中，多邊形邊數越多，烤盤邊緣熱量分布越均勻。由圖3可以看出，在烤箱的內部空間中，由于受熱點與烤箱內壁的距離不同，因此在烤箱中的受熱點存在一定的溫度差，距離烤箱內壁近的點，溫度較高，而距離烤箱內壁較遠的點的溫度較低。溫度分布的不均造成了相同種類的食物在不同位置上所需的加熱時間不同。因此，在選擇烤盤形狀時應盡可能的避免烤盤與烤箱大面積的接觸。故在選擇烤盤時，當烤箱較小時，選擇圓形烤盤。當烤箱較大時，選擇圓角正六邊形的烤盤是最為合適的。

由于熱輻射的本質也是電磁波，因此該模型對于波的傳播有一定的參考作用，包括光的傳播。

參考文獻

[1]陳為雄. 一個全局收斂的近似牛頓法[J]. 工程數學學報. 1984（01）

[2]林曉鷹，顏黃蘋，鮑平. 電烤盤溫度場的有限元分析[A]. 福建省科協第三屆學術年會裝備制造業專題學術年會論文集[C]. 2003

[3]劉靜，劉錫良.仿生建筑在空間結構中的運用[A]. 第五屆全國現代結構工程學術研討會論文集[C]. 2005

[4]周玲. MATLAB在傅里葉變換教學中的應用[J]. 魯東大學學報（自然科學版）. 2011（01）

[5]劉順華，耿兆祥，李長茂. 熱線法的應用[J]. 計量與測試技術. 2002（02）