“數形結合”在解題中的應用

摘 要：初中數學主要有兩大部分“代數”和“幾何”。數學中一般每一部分都有或多或少的聯系，互相不會有明顯的界限。形化數中主要可以有解析法、判別式法、復數法、面積（體積）法、代數三角法解決某些幾何問題；數化形中主要可以有運用構造法和函數圖象法解決一些代數問題。在初中數學中，題目的靈活性大，有一些題用一般的方法可能無法解題。為此，在這篇文章中我將討論“數形結合”在解題中的作用教學。

關鍵詞：中學數學 以數化形 以形變數

著名數學家華羅庚曾說過： 數缺形時少直覺，形缺數時難入微.數形結合百般好，隔離分家萬事非. 這說的就是數形結合思想，它是中學數學中一種重要的數學思想，包含 以形助數 和 以數輔形 兩個方面，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。數學學習離不開思維，數學探索需要通過思維來實現，在初中數學教學中逐步滲透數學思想方法，培養思維能力，形成良好的數學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數學素質教育的一個切入點。數形結合將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，產生事半功倍的效果。中學中，這一思想應用十分廣泛。

一、以數化形

由于“數”和“形”是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優點，能表達較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數”的對應—“形”找出來，利用圖形來解決問題。心理學研究表明，學生對圖形的認識比純粹的文本計算更感興趣。

初中的函數是學生接觸最多的一類，函數題通常不會很簡單，尤其是一些函數的證明題，學生證明起來往往抓不到重點，導致證明過程也是混亂。其實一些函數的證明可以用幾何來解決。例如，若a、b、x、y是實數，且a2+b2=1，x2+y2=1.求證：ax+by≤1.這道題，首先看到時，a2+b2=1，x2+y2=1這兩個公式就可以聯想到圓的公式上，那么證明過程如下，證明：作直徑AB=1的圓，在AB兩邊任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC=a，BC=b，BD=x，AD=y.由勾股定理知a、b、x、y是滿足題設條件的.據托勒密定理，有AC·BD+BC·AD=AB·CD.∵CD≤AB=1，∴ax+by≤1.數化形的應用不僅僅在函數方面應用廣泛。在數軸方面也是會更直觀。，數軸是數學學習和應用中比較常見的一種數學學習的工具，數軸這種數學工具，很大程度上最早體現了數形結合的思想。數軸的主要應用就是指每一個實數，理論上都可以在數軸上找到相對應的一個點，并且這個點是唯一的。實數放到數軸上去觀察的好處就是可以直接地通過數軸將兩個數的大小直接地反映，對于一些特殊的位置的對應關系，比如相反數，在數軸上就可以 使學生更好的理解。學習有理數加減時，可以把筆尖放在數軸的原點處，先向正方向移動3個單位長度，再向負方向移動2個單位長度，這時筆尖停在表示“1”的位置上。用數軸和算式可以將以上過程及結果表示。概率的學習，在初中教材中也占有一定的比重，概率數字抽象不易理解，一些變化僅僅依靠數字也很難體現出來。于是，概率圖的出現就很好的解決了這個問題，折線圖優點在數據變化清楚，條形統計圖直觀的看出數據大小，等等一系列圖形都可以彌補單一的數據的不足。初中階段還有一種題型是需要畫出平面地圖的方式解決的。例如，小船在距離燈塔東南方向500米處的位置，大船在距離燈塔西北方向400米的位置。小船如果想去和大船回合如何行走？這種題單一的看題是看不出答案的，需要學生畫圖來輔助。

二、以形變數

雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對于較復雜 的“形”，不但要正確的把圖形數字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，“形”也有缺點，它不是很精確，比如有時候有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出規律來，這時就要借助代數來分析計算。

例如，求直線y=x -1與拋物線y=x 2+2x -2的交點坐標。分析本題，在平面直角坐標系中畫出直線與拋物線的草圖，可以發現它們有兩個交點，在第三、四象限，但不確定點的坐標，圖形很直觀，但不精確。那么怎么來求出交點坐標呢？我們可以借助“數”。我們借助函數解析式，交點的坐標都是滿足直線和拋物線的解析式，那么我們可把交點的橫坐標和縱坐標看做是直線和拋物線解析式聯立的方程組的解，這樣我們就可以“數”解“形”了。所以，對于本題，我們的做法是：聯立y=x -1和y =x 2+2x -2得x -1=x 2+2x -2，得x 2+x -1=0，解此方程，求出對應的y ，交點就求出了。本題的解決充分展示了以“數”解“形”，運用代數可彌補圖形帶來的不足。還有一些找規律的題型，小學階段的規律題比較容易，看圖形就可以看出規律，但是初中的規律題并不會很容易，給出一些規律的圖形之后，學生往往需要將圖形轉化為代數公式，才可以發現規律，進而解決。

初中數學教師在滲透數形結合的思想的時候，必須使學生充分明白要想利用數形結合解決問題，就必須找準二者的契合點，然后根據相應對象的屬性，將數與行進行巧妙的結合，進而進行相互間的有效轉化，這樣才能真正有效的解決相應的數學問題. 如果想要靈活的運用“數形結合”的方法解題，教師的教學是一方面，最主要的是要依靠學生多做題，做題多了，學生看到題就可以想到對應的方法。

參考文獻

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