例談不等式的證明方法

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學教學；不等式；證明方法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2013）15—0076—01

不等式的證明方法通常涉及到數(shù)學的各分支領(lǐng)域，其理論性和技巧性一般比較強，因此不等式的證明已成為各類數(shù)學競賽的熱門題型.如何尋求不等式的證明思路是學生常感到困惑的問題.該文從證明不等式的幾種常見的基本方法和幾種特殊方法出發(fā)，向?qū)W生介紹一些典型的不等式的證明方法.

一、比較法

1.作差比較法：當要證的不等式兩邊為代數(shù)和形式時，通過作差把定量比較左右的大小轉(zhuǎn)化為定性判定左-右的符號，從而降低了問題的難度.作差是化歸，變形是手段，變形的過程是因式分解（和差化積）或配方，把差式變形為若干因子的乘積或若干個完全平方的和，進而判定其符號，得出結(jié)論.

例1 已知a，b都是正數(shù)，（并且a≠b）求證：a5+b5>a3b2+a2b3.

分析：要證a5+b5>a3b2+a2b3，只需證明 a5+b5-（a3b2+a2b3）>0（即作差）. 把a5+b5-（a3b2+a2b3）變形（因式分解），再運用已知條件a，b∈R+，且a≠b，可把問題解決.

證明：（a5+b5）-（a3b2+a2b3）=（a5-a3b2）+（b5-a2b3）

= a3（a2-b2）+ b3（b2-a2）=（a2-b2）（a3-b3）

∵ a，b∈R+，且a≠b，則當 a>b時，有a2>b2，a3>b3.

得 （a2-b2）（a3-b3）>0；當 a

綜上得（a2-b2）（a3-b3）>0， ∴ a5+b5>a3b2+a2b3 .

2.作商比較法：當不等式兩邊為正的乘積形式時，通過作商把其轉(zhuǎn)化為比較左右與1的大小.

例2 若a>b>c>1，求證：a2ab2bc2c>ab+cba+cca+b.

證明：∵a>b>1，

∴a-b>0.

∴（a ）a-b>1.

同理（b）b-c>1，（c）a-c>1.

∴（a）a-b（b）b-c（c）a-c>1.

∵ a2a-b-cb2b-a-cc2c-a-b

=a（a-b）+（a-c）b（b-c）-（a-b）c-（a-c）-（b-c）

=（a）a-b（b）b-c（c）a-c>1，

∴a2ab2bc2c>ab+cba+cca+b.

二、綜合法

綜合法， 又稱順推法（由因?qū)Ч?是由已知條件 （或真命題）推導未知（或結(jié)論）的證明方法，即從已知條件或真命題出發(fā)，依次推導出一系列真實命題 ，最后達到所要證明的命題的結(jié)論.從不等式的證明來看就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出欲證的不等式（由因到果）.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚.

例3 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)， 求證：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>6abc.

分析：不等式左邊含有“a2+ b2 ”的形式，我們可以運用基本不等式：a2+ b2≥2ab.還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b、b2c、c2a、ab2、bc2、ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a、b、c的“積”，我們可以運用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.

證明：∵b2+c2≥2bc，a>0，∴a（b2+c2）≥2abc.

同理：b（c2+a2）≥2abc，c（a2+b2）≥2abc.

∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc.

三、分析法

證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題.如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立.這種證明方法的思維特點是“執(zhí)果索因”.

例4 求證： ■+ ■ < ■+■.

證明：為了證明■ + ■< ■+■，只需證明（■ + ■）2<（■+■）2成立.

展開得9+2■<9+2■.

顯然這是成立的，所以 ■+ ■ < ■+■.

四、反證法

在證明一些“唯一性”命題及“無限性”命題時，往往直接去證明比較棘手，就可以使用反證法進行證明.用反證法應注意幾個問題：1.如果肯定命題的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導致矛盾，由此論證原結(jié)論是正確的證明方法就是反證法的中心思想；2.應把“反設(shè)”看作是在證明過程中新增加的條件，同時在證明過程中，必須要使用這個新增加的條件，否則無法引出矛盾；3.導出矛盾的結(jié)果，通常是指出現(xiàn)下列矛盾之一：①與已知相矛盾；②與已知的公理相矛盾；③與已知定義相矛盾；④與已知定理、公式，性質(zhì)相矛盾；⑤與“反設(shè)”相矛盾；⑥由“反設(shè)”推出的結(jié)果自相矛盾，其步驟為：否定結(jié)論→推理論證→導出矛盾→肯定原結(jié)論.

例5 已知Ac-2Bb+Ca=0，且ac-b2>0，a，b，c，A，B，C均不為零，求證：AC-B2 <0.

證明：假設(shè)AC-B2 ≥0，則AC≥B2>0.

由已知條件ac-b2>0，得ac>b2>0，于是AaCc> B2b2.

又Ac-2Bb+Ca=0，故（Ac+Ca）2=4B2b2<4AaCc.

所以（Ac+Ca）2<0.

這是不可能的，所以AC-B2<0.

編輯：謝穎麗