如何輕松解決排列與組合問題

排列與組合問題，一直是困擾學生學好數學的一個難題。通過分析多年的教學經驗，總結出兩種解題方法供大家參考。

數學排列組合一、排列與組合的解題方法的歸類

1.解題的指導思想：分類加法，分步乘法；有序排列，無序組合

2.解題的原則：特殊元素（或特殊位置）優先法

3.解題的方法：選法（直接法）和拋法（間接法）

4.常見題型及解題策略：

題型一：特殊元素或特殊位置優先法（即先解決特殊元素或特殊位置）

例1：甲乙等6人站成一排，其中甲不能站在最左端，乙不能站在最右端，則共有多少不同的站法？

解析：方法一（選法）：

第一類：甲站在最右端共有A55種；

第二類：甲站在中間4個位置有C14C14A44種；

綜上，共有A55+C14C14A44=504種。

方法二（拋法）：即拋去甲在最左端的情況和乙在最右端的情況。共有A66-A55-A55+A44=504種。

題型二：相鄰問題用捆綁法（捆相鄰元素，且注意其有序性）

例2：7個人站成一排，甲、乙、丙三人相鄰，共有多少種的站法？

解析：把甲、乙、丙3人看成1人與其余4人站成一排共有A55種站法，再把甲、乙、丙3人進行排列有A33種站法，此兩步完成之后共有A55A33種不同站法（分步乘法，有序排列）。

題型三：不相鄰問題用插空法（誰不相鄰誰去插空，每空最多插入一個元素）

例3：6人站成一排，甲、乙不相鄰且甲、丙也不相鄰的站法共有多少種？

解析：方法一（拋法）：6人全排列，再拋掉甲、乙相鄰和甲、丙相鄰的情況，則共有A66-2A22A55+A22A44=288種不同的站法。

方法二（選法）：把其余3人先排好有A33種方法，再讓甲、乙去插空，有A24種方法，最后丙再去插空，但不能站在甲的左右兩端，共有A14種方法，完成這件事共有A33A24A14=288種站法。

題型四：順序不變問題用除法或定位法

例4：6人站成一排，要求甲在乙前面，乙在丙前面，則共有多少種不同的排法？

解析：方法一（除法）：6人全排列有A66種方法，其中有甲、乙、丙所有順序的共A33種，而我們只要其中一種情況，甲—乙—丙符合，則共有A661A33=120種。

方法二（定位法）：從6個位置中選出3個位置有C36種選法，此時，甲、乙、丙順序不變，他們3人只有一種坐法，其余3人在剩余3個位置站好有A33種站法，則一共有C36A33=120種方法。

題型五：不回原位置問題（每個元素從自己位置出來，再回到位置上去，但不能回到原來的位置）

記住以下3種不回原位置情況即可：

（1）2人不回原位置：只有兩人交換位置，即1種方法；

（2）3人不回原位置：其中每人都有2個位置可去，共有2種方法；

（3）4人不回原位置：先安排其中1人有3種方法，再安排被占位置的那個人也有3種方法，此時剩余2人只有一種方法，故共有3×3=9種方法。

題型六：涂色問題用分類的方法（以用的顏色的多少去分類，這樣不重不漏。注意先選顏色再涂顏色）

例6：有5種不同顏色的鮮花，要種植在圖中的5塊區域內，每個區域只能種一種顏色的花，相鄰區域不能種同一種顏色的花，則共有多少種不同的種植方法？ ABCED解析：此題以用的鮮花顏色的多少分類

第一類：用5種顏色的鮮花，有A55種方法；

第二類：用4種顏色的鮮花，但要先選擇顏色再種植，共有C45·2A44種方法，（此時，AD或BE必植同一顏色的鮮花）；

第三類：用3種顏色的鮮花（同上）：有C35A33種方法（此時，AD和BE分別種一種顏色）；

綜上，共有A55+C45·2A44+C35A33=420種不同的種法。

題型七：平均分配問題用除法（要注意平均分配問題的有序性）

例7：（1）6人平均分成3組有多少種不同的分法？

（2）把6人平均分到甲、乙、丙3個單位共有多少種不同的分配方法？

解析：（1）6人平均分組是與順序無關的問題，則有C26C24C221A33=15種不分法。（注：C26C24C22本身為排列，即與順序有關的）

（2）把6人平均分到3個不同的地方是與順序有關的問題，則有C26C24C221A33·A33=90種。另解：可以讓甲、乙、丙3個單位派人來領6人中的2人，即C26C24C22=90種。

題型八：檔板法（適用范圍是把n個相同元素分配到m（m

例8：我校有某高校的10個自主招生名額，要分配給高三的7個班，每班至少一個名額，共有多少種不同的分配方案？

解析：方法一：分類解決，即以名額的分配多少分類：

第一類：有一個班4個名額，其余班各有一個名額，有C17種

第二類：有一個班3個名額，一個班2個名額，其余班各一個名額有C27A22種。

第三類：有3個班2個名額，其余班各1個名額，則有C37種

綜上，共有C17+C27A22+C37=84種（若把名額改成20，此法不可取）

方法二：用檔板法。即把10個名額擺好，用6個板把10個名額 分成7份，每個板只能進9個空中的一個空，且一個空最多進一個板，則共有C69=84種。

二、高考真題及模擬試題訓練

1.一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法總數為（ ）

A.3×3！B.3×（3！）3C.（3！）4D.9！

解析：第一步：3個家庭的全排列有A33=3！；

第二步：家庭內部3人的全排列有3！，共有3個家庭有（3！）3故總數為（3！）4（相鄰問題捆綁法）。

2.將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（ ）

A.12種B.18種 C.24種 D.36種