談立體幾何教學(xué)中對高中生空間想象能力的培養(yǎng)

通過借助實物模型進行直觀教學(xué)；加強識圖與畫圖的訓(xùn)練；重視三種語言的互譯，培養(yǎng)空間問題的表述能力；加強數(shù)學(xué)空間想象的訓(xùn)練這五個方面來培養(yǎng)高中生的空間想象能力。

空間想象能力空間觀念想象觀察《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》要求學(xué)生采用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及性質(zhì)。立體幾何初步的教學(xué)重點是幫助學(xué)生逐步建立初步的空間想象能力。空間想象力是新課程目標(biāo)和高考考試大綱要求的七大能力之一，它主要是對空間形式的觀察、分析、和抽象的能力，主要要求有：根據(jù)條件做出正確的圖形、根據(jù)圖形想象出立體形象、圖形中有那些基本元素以及他們之間的關(guān)系能準確的觀察出來、能分解組合圖形、會運用各種手段（如圖形、圖表等）直觀的解釋圖形的本質(zhì)。

“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化……幾何想象，或如同人們所說的幾何直覺”。著名的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫說，“對于幾乎所有的數(shù)學(xué)分科的研究工作，甚至對于最抽象的工作有著重大意義”?？梢娍臻g想象能力的重要性。那么在立體幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，有哪些途徑呢？

一、借助實物模型進行直觀教學(xué)

實物模型并不僅僅指教學(xué)所用三角板、直尺、正方體、長方體、四棱錐等幾何教具，還有更普遍、更常見、每個學(xué)生都有的課本、桌面、手掌（代表平面）；手指、天花板上的日光燈管、筆（代表直線）；翻開的課本、打開的門與墻壁（代表二面角）、教室的一個墻角（代表兩兩互相垂直的三個平面或者三條相交于一點兩兩互相垂直的直線）、粉筆盒（代表長方體）等。在解題過程中如果運用這些現(xiàn)成的模型，就會使得圖形更加的直觀，問題更加的容易解決。

例如，二面角α-l-β的大小為θ，二面角α1-l1-β1的大小為θ1，其中α⊥α1，β⊥β1，問：θ與θ1的大小關(guān)系？

此題作圖較難。滿足條件的圖形是可以畫幾個出來，但是它只是其中的某幾個位置，是不會運動的，要畫出各種情形的圖形，很浪費時間，且各種位置的圖形也比較難畫。因此接下來學(xué)生只能想象了，這就有比較大的難度。我的做法是，這道題只要用兩本翻開的課本按條件擺放幾下，就可以很快觀察出結(jié)論。通過學(xué)生親自動手演示實驗就會使其深刻的體會到用這種現(xiàn)成的模型解答這一類題目非常的形象、直觀，而且還提升了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的信心和興趣，也會使得他們的空間想象力得到更快提高。

再如，設(shè)α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列四個命題：

①若m⊥α，n//α，則m⊥n ②若α//β，β//γ，m⊥α，則m⊥γ

③若m//α，nα，則m//n ④若α⊥γ，β⊥γ，則α//β

其中正確命題的序號是（ ）.

A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④

這一道題如果學(xué)生去畫圖，既費時，又難畫。這一道題目如果學(xué)生以“手指、筆、尺等（代表直線），課本、手掌、桌面等（代表平面）”，演示、比劃一下，就可以馬上找到答案。這就非常形象、直觀，且提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，培養(yǎng)了他們的空間想象能力。

通過“借助實物模型進行直觀教學(xué)”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，可以使學(xué)生的空間形式、空間觀念直觀形象化。日積月累，逐漸的學(xué)生就能夠做到離開實物模型也可以進行空間形式的思考，使得學(xué)生的空間形式的更進一步的具體化、形象化，然后慢慢的形成空間觀念。所以這一步驟的教學(xué)訓(xùn)練了學(xué)生的形象思維、聯(lián)想思維等，對于培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的效果是非常明顯的。

二、加強識圖與畫圖等的訓(xùn)練

直觀圖是發(fā)展學(xué)生空間想象能力的關(guān)鍵，是學(xué)生立體思維的對象，對于初學(xué)立體幾何者來講，如何把自己想象中的圖形體現(xiàn)在平面上，這是最困難的問題之一了。所謂空間想象力差，其實就是畫出來的圖形不富有立體感，不能表達出圖形中各部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系。因此，在立體幾何的初始階段，應(yīng)多利用線、面、體等實物模型以及對直觀圖的多角度的觀察、比較、對照、想象、識別，直至學(xué)生能夠迅速的看得懂圖，想得出形（體），發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

1.識圖

無論是展示給學(xué)生看直觀圖，還是引導(dǎo)學(xué)生自己看，都應(yīng)從簡單的幾何體直觀圖開始，再到復(fù)雜的幾何體直觀圖，最后到組合幾何體的直觀圖，例如可以引導(dǎo)學(xué)生看下面這一組幾何體的直觀圖。在看圖時，同時提醒學(xué)生，由圖想面，由面想體，形成“一圖為一體”的觀念，這樣學(xué)生思維中儲存的立體信息越多，使用時提取的立體形象越多，空間想象力就越強。

通過“識圖”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，學(xué)生就可以把實物模型與直觀圖更好的聯(lián)系起來，這樣學(xué)生頭腦中這樣的“舊表象”數(shù)量越多，再造想象就越豐富，形象思維、創(chuàng)造性思維就能更好的得到訓(xùn)練，從而使學(xué)生的空間想象能力得到更好的提高。

2.畫圖

空間觀念是形象思維與邏輯思維交替作用的思維過程，表達這種思維的最好語言就是幾何語言（幾何圖形），對一般的高中生來講，把空間幾何體畫在平面上是比較困難的。教師應(yīng)按照作圖法則，做出示范，使學(xué)生掌握作圖法則和要領(lǐng)。同時作圖訓(xùn)練應(yīng)該由易到難，循序漸進，先訓(xùn)練平面圖形的直觀圖，再做空間幾何體的直觀圖、三視圖、展開圖。畫好后，引導(dǎo)學(xué)生將圖形與實物模型對比。要求學(xué)生不僅會畫，而且還要畫出很強的立體感。

例如，正方體的直觀圖如右下圖所示，則其展開圖是（D）.

再如，老師在講臺桌上放著一個如下圖所示的圓柱形茶杯（畫圖時，忽略茶杯的柄。尺寸學(xué)生自定），要求學(xué)生畫出它的直觀圖、三視圖以及展開圖。

通過“畫圖”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，讓學(xué)生親自動手實踐、親身體驗，即用幾何語言（幾何圖形）表達出來，培養(yǎng)了學(xué)生空間想象能力，同時也加強了他們對空間世界的認知。

3.分解、組合以及度量等

對于一些復(fù)雜的圖形，他是由基本圖形分解、交錯、組合、疊加而成的。此時基本元素之間的關(guān)系就比較抽象難以觀察。對于這種情況教師經(jīng)常是用彩色粉筆從中描出需要的幾何對象或者用多媒體處理效果也很好。其實更好的辦法是對圖形進行分解和組合，這更有利于學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。對圖形進行分解、組合訓(xùn)練的形式有：圖形的旋轉(zhuǎn)、將圖形對稱變換、圖形的平移、割補立體圖形、將立體圖形的側(cè)面或表面展開、將平面圖形翻折成立體圖形等。

例如，一個三棱柱的底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖及其尺寸如下（單位cm），則該三棱柱的表面積為：

A.24πcm2B.（24+83）cm2C.143cm2D.183cm2

再如，離開模型和圖形）試想象正方體ABCD-A1B1C1D1中：

①在各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線平行的直線有哪些？

②在各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線相交的直線有哪些？

③、各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線異面的直線有哪些？

④在各棱所在的直線中，與棱AB所在的直線垂直的直線有哪些？

⑤在各棱所在的直線中，哪兩條直線關(guān)于直線AB對稱？

⑥在各棱所在的直線中，直線AB繞直線CD旋轉(zhuǎn)90°后與那一條直線重合？

通過“分解、組合以及度量等”這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，使得學(xué)生對于平面圖形、實物、直觀圖、三視圖之間聯(lián)系與區(qū)別有了更深刻的理解。這使得學(xué)生對復(fù)雜的空間幾何體的認識有著質(zhì)的飛躍，從而培養(yǎng)了學(xué)生的形象思維、創(chuàng)造性思維、抽象思維等，進一步提高了學(xué)生的運算能力、空間想象能力。

三、重視三種語言的互譯，培養(yǎng)空間問題的表述能力

數(shù)學(xué)中的空間想象力與一般的想象力既有區(qū)別又有聯(lián)系。文字語言、圖形語言、符號語言是數(shù)學(xué)中的三種基本語言，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生運用這三種語言進行交流是高中新課程數(shù)學(xué)必修系列的基本要求。教學(xué)中，要注意獲得文字語言的自然性，培養(yǎng)圖形語言的不可替代性及符號語言的準確性。

例如，一張展開的平整的紙（代表平面）上斜插著一支筆（代表直線）。要求學(xué)生畫出圖形并且分別用符號語言、文字語言來敘述。

符號語言：直線a∩平面α=A。

文字語言敘述：直線a與平面α相交于A點。

畫圖如下（左）：

再如，證明：三個兩兩垂直的平面的交線也互相垂直（要求寫出已知、求證并畫出圖形）。

畫圖如上（右）。

已知：平面ABCD⊥平面ADD1A1，平面ABCD⊥CDD1C1，平面ADD1A1⊥CDD1C1

平面ABCD∩平面ADD1A1=直線AD，平面ABCD∩CDD1C1=直線CD，平面ADD1A1∩CDD1C1=直線DD1。

求證：AD⊥CD，CD⊥DD1，AD⊥DD1.

通過這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，可以有效地解決學(xué)生對這一塊知識學(xué)習(xí)的難點：“數(shù)學(xué)符號多且抽象，準確的語言表達、立體感強的圖形語言”。還訓(xùn)練了學(xué)生的直觀形象思維、抽象邏輯思維、聯(lián)想思維等，提高了學(xué)生的語言表達能力、空間想象能力等。

四、加強數(shù)學(xué)空間想象的訓(xùn)練

1.適當(dāng)?shù)倪\用多媒體等現(xiàn)代化信息技術(shù)工具的演示

在平面上繪出立體圖形，具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成垂直、正方體的每一面不能都畫成正方形等，這樣就給學(xué)生認識立體圖形增加了困難。應(yīng)用多媒體輔助教學(xué)演示生動、形象的立體圖形，是學(xué)生通過對直觀圖形的觀察，充分利用計算機繪圖功能的優(yōu)越性，從多方位、多角度、多側(cè)面描繪圖形，解決平面立體圖形和真實立體圖形的差異。這樣不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何的知識，還可以充分的發(fā)揮學(xué)生的想象力和造創(chuàng)力。

例如，為了讓學(xué)生理解二面角的定義，可做如下的演示（如圖1），當(dāng)A點繞著棱逆時針運動時，A點所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動，即二面角的大小也在變化。利用多媒體顯示出圖形的運動變化對學(xué)生建立空間觀念和提升空間想象力是很有幫助的。

再如，在講椎體時，多媒體演示將如圖2所示的三棱柱分割成三個三棱錐，且他們的體積都相等。這樣的過程可以使學(xué)生非常直觀的觀察出變化的整個過程，從中還可以學(xué)到用分割幾何體的方法解決問題。

“直觀感”“立體感”“動態(tài)感”等方面在傳統(tǒng)教學(xué)中表現(xiàn)的不足，老師這時候就可以通過計算機、多媒體、網(wǎng)絡(luò)等現(xiàn)代化信息技術(shù)工具向?qū)W生展示精彩紛呈的圖形世界。這有利于學(xué)生擴大視野，更好的建立空間概念，訓(xùn)練了學(xué)生的聯(lián)想思維、形象思維等，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣和空間想象能力。

2.培養(yǎng)動手操作能力

將平面圖形折疊成空間幾何體；將空間幾何體的表面展開；將空間幾何體進行割補；在復(fù)雜的圖形中尋找基本元素的關(guān)系等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生動手操作能力的很好的方法。

例如：如圖（1），邊長為2的正方形ABEF中，D，C分別為EF，AF上的點，且ED=CF，現(xiàn)沿DC把△CDF剪切、拼接成如圖（2）的圖形，再將△BEC，△CDF，△ABD沿BC，CD，BD折起，使E，F(xiàn)，A三點重合于點A′。（1）求證：BA′⊥CD；（2）求四面體B-A′CD體積的最大值。

通過這一環(huán)節(jié)的教學(xué)，可以讓學(xué)生體驗在親自動手操作后帶來的喜悅感、成就感等，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作能力、運算能力、數(shù)學(xué)語言與符號的表達能力、邏輯推理能力和判斷能力、空間想象能力等。

經(jīng)過筆者的嘗試，通過以上這些方式、方法的訓(xùn)練，教學(xué)效果是非常明顯的。當(dāng)然空間想象能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，它是一個漸進的過程，貫穿整個高中的學(xué)習(xí)與教學(xué)。教學(xué)中要借助生活中大量的感性材料，借助多媒體技術(shù)，引導(dǎo)學(xué)生運用圖形的特征去想象，強調(diào)學(xué)生的動手操作和主動參與，使學(xué)生在對大量圖形的觀察、操作、試驗、想象、交流等活動中，認識空間幾何體，逐步提高空間想象能力。

參考文獻：

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