拉格朗日乘數法在經濟最優化中的應用

摘 要：高等數學在經濟研究中應用越來越廣泛，推動了經濟學的快速發展。結合實例，對拉格朗日乘數法在經濟最優化中的應用進行探討與研究。

關鍵詞：拉格朗日乘數法；經濟；最優化；應用

中圖分類號：O172.1 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2013）28-0005-02

在數學最優化問題中，拉格朗日乘數法是以數學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數的極值的方法。

一、拉格朗日乘數法

設二元函數f（x，y）和？漬（x，y）在區域D內有一階連續偏導數，則求z=f（x，y）在D內滿足條件？漬（x，y）=0的極值問題，可以轉化為求拉格朗日函數L（x，y，λ）=f（x，y）+λ？漬（x，y）（其中λ為某一常數）的無條件極值問題。

于是，求函數z=f（x，y）在條件？漬（x，y）=0的極值的拉格朗日乘數法的基本步驟為：

（1） 構造拉格朗日函數L（x，y，λ）=f（x，y）+λ？漬（x，y）其中λ為某一常數；

（2） 由方程組Lx=fx（x，y）+λ？漬x（x，y）=0Ly=fy（x，y）+λ？漬y（x，y）=0Lλ=？漬（x，y）=0

解出x，y，λ，其中x，y就是所求條件極值的可能的極值點。

拉格朗日乘數法可推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形。拉格朗日乘數法只給出函數取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來的點是否為極值點，還需要加以討論。不過在實際問題中，往往可以根據問題本身的性質來判定所求的點是不是極值點（或最值點）。由于在經濟學中都是具體的實際問題，比如，求產量最高、利潤最大等，它們的最值是否存在是一目了然的，所以拉格朗日乘數法在經濟最優化中有著廣泛的應用。

二、拉格朗日乘數法在經濟最優化中的應用實例

實例1 現在已知某制造商的Cobb-Douglas生產函數是f（x，y）=100x3/4y1/4，每個勞動力與每單位資本的成本分別是150元及250元。該制造商的總預算是50 000元。問他該如何分配這筆錢用于雇用勞動力與資本，以使生產量最高。

解 這是個條件極值問題，求函數f（x，y）=100x3/4y1/4在條件150x+250y=50 000下的最大值。令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+

λ（50 000-150x-250y），由方程組

Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Ly=25x3/4y-3/4-250λ=0Lλ=50 000-150x-250y=0 中的第一個方程解得

λ=■x-1/4y1/4將其代入第二個方程中，得

25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0

在該式兩邊同乘x1/4y3/4有25x-125y=0即x=5y。將此結果代入方程組的第三個方程得x=250，y=50，即該制造商應該雇用250個勞動力而把其余得部分作為資本投入，這時可獲得最大產量f（250，50）=16 719。

實例2 設某電視機廠生產一臺電視機的成本為c，每臺電視機的銷售價格為p，銷售量為x。假設該廠的生產處于平衡狀態，即電視機的生產量等于銷售量。根據市場預測，銷售量與銷售價格為p之間有下面的關系：

x=Me-ap （M>0，a>0） （1）

其中M為市場最大需求量，a是價格系數。同時，生產部門根據對生產環節的分析，對每臺電視機的生產成本c有如下測算：

c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）

其中c0是只生產一臺電視機時的成本，k是規模系數.根據上述條件，應如何確定電視機的售價p，才能使該廠獲得最大利潤？

解 設廠家獲得的利潤u，為每臺電視機售價為p，每臺生產成本為c，銷售量為x，則u=（p-c）x。于是問題化為利潤函數u=（p-c）x在附加條件（1）、（2） 下的極值問題。利用拉格朗日乘數法，作拉格朗日函數：L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+

λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）。（下轉74頁）

（上接5頁）

令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0。

將 （1）代入 （2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）

由 （1）及Lp=0知 λa=-1即λ=-1/a （4）

由Lc=0知x=μ即x/M=1。將（3）（4）（5）代入Lx=0，得p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0，

由此得p*=■

由問題本身可知最優價格必定存在，故這個p*就是電視機的最優價格。

三、小結

本文列舉了拉格朗日乘數法在經濟最優化中應用的兩個實例。從中可以看出，在經濟學中涉及到有約束條件的最值問題可以用拉格朗日乘數法來完成。總之，高等數學在經濟研究中應用越來越廣泛，推動了經濟學的快速發展。

參考文獻：

[1] 吳贛昌.微積分[M].北京：中國人民大學出版社，2006：10.

[2] 吳傳生.經濟數學（微積分）[M].北京：高等教育出版社，2003：6.[責任編輯 吳高君]

收稿日期：2013-08-19

作者簡介：辛春元（1975-），女，遼寧大連人，副教授，從事應用數學研究。