利用“蝴蝶法”求解一次函數自變量取值范圍

?甘肅省武威市涼州區謝河鎮九年制學校 他維武

無論是在單純的函數問題，還是應用題中，一次函數中自變量的取值范圍始終是重要內容，同時也是學生難以突破的一個考點[1].基于此，本文中首先介紹平面直角坐標系中一條直線對應的函數的自變量取值范圍，然后拓展到兩條相交直線中利用“蝴蝶法”討論自變量的取值范圍，希望在幫助教師教學的同時也能幫助學生突破難點.

1 引例分析

例1已知函數y=2x-4，要使y>0，那么x的取值范圍是______.

分析：這是一道一次函數與不等式結合的題目，比較常見且難度不大，有兩種不同的解法.解法一，由y>0得到2x-4>0，解出不等式后即得x的取值范圍.解法二，畫出函數y=2x-4的圖象，借助圖象分析出x的取值范圍.

解：用兩點法作出函數y=2x-4的圖象，如圖1所示.

圖1中，x=2時，y=0.直線y=2x-4被點(2，0)分成上下兩部分.如圖2所示，在直線上半部分中取若干各點，分別找出這些點對應的橫、縱坐標，發現x大于2時，y都大于0，于是有“x>2時，y>0”.

圖1

圖2

接下來，在直線下半部分中取若干個點，分別找出這些點對應的橫、縱坐標，發現x小于2時，y都小于0，于是有“x<2時，y<0”.

所以，y>0時x的取值范圍是x>2.

點評：通過函數圖象分析自變量的取值范圍大致分為以下幾個步驟.(1)找圖象與x軸的交點，確定y=0；(2)將直線分為上下兩部分，取若干點討論x，y；(3)比較大小.當然，還可以通過觀察圖象直接得到直線上半部分中的點相應的y值都大于0，直線下半部分直線中的點相應的y值都小于0，即“上大下小”[2].

2 例析“蝴蝶法”

所謂“蝴蝶法”，是根據同一坐標系中兩條直線形成的圖形而產生的方法，其基礎是例1中的方法，只不過是將一條直線換成了兩條直線.下面通過例2說明如何用“蝴蝶法”解決一次函數自變量的取值范圍.

例2已知函數y1=x-1和y2=2x-3，當y1>y2時，x的取值范圍是______.

分析：本題可采用兩種方法解答.法1可以直接根據y1>y2得到不等式x-1>2x-3，解之即可得到x的取值范圍.法2采用圖象法，即先畫出函數圖象，然后根據“蝴蝶法”分析.

解：首先，畫出兩函數圖象，如圖3所示.

圖3

即當x=2時，y1=y2.

再次，找“蝴蝶”.兩條直線將整個平面直角坐標系分成了四部分，利用“引垂法”找到垂線與兩直線的交點，交點所在直線之間部分(如圖4所示)即為所找“蝴蝶”.

圖4

最后，由圖可以發現y1>y2部分主要在交點左邊部分“蝴蝶”，而這部分的橫坐標全部小于2.于是，得到了當x<2時，y1>y2.那么交點右邊部分的“蝴蝶”的橫坐標全部大于2.于是，得到了當x>2時，y1

綜上，應填答案：x<2.

例3圖5表示一艘輪船和一艘快艇沿著相同路線從甲港出發到乙港行駛過程中路程隨時間變化的圖象.根據圖象解答下列問題：

圖5

(1)在輪船和快艇中，哪一個的速度較大？

(2)當時間x在什么范圍內時，快艇在輪船的后面？當時間x在什么范圍內時，快艇在輪船的前面？

分析：第(2)問是本文研究的對象，主要方法是求出兩條直線交點，然后利用“引垂法”找到“蝴蝶”，再用“蝴蝶法”找到自變量的取值范圍.

解：(1)在輪船快艇中，快艇的速度更大，快艇的速度為40 km/h.

(2)兩函數圖象交點的橫坐標為4.當x<4時，輪船在快艇的前面；當x>4時，快艇在輪船的前面.

點評：在運用“蝴蝶法”求自變量取值范圍的過程中，用“引垂法”找準“蝴蝶”非常關鍵.若不掌握此法，學生極易出現選左右兩個部分的錯誤，繼而無法準確找出y1>y2或y1

3 總結與反思

用“蝴蝶法”求一次函數自變量取值范圍的步驟如下：

(1)畫圖象.根據題目需要，利用“兩點法”快速畫出函數圖象.

(2)求交點.聯立一次函數解析式，解之即可求出直線交點坐標.此時，要透徹理解交點的意義.以例2中的交點坐標(2，1)為例，其意義為當x=2時，y1=y2.

(3)找“蝴蝶”.為了避免找錯“蝴蝶”，通常利用“引垂法”，如例2解題過程中所寫.

(4)比大小.這里的比大小，一方面要比較x的大小，另一方面要比較y的大小.首先，欲找到x的取值范圍，只需將x與交點橫坐標比較.其次，欲找到y1>y2或y1y2；如果與直線y2的交點在上方，則y1

使用“蝴蝶法”時，還需注意以下兩個方面：

(1)正確畫出函數圖象是關鍵，所以學生要牢固掌握“兩點法”.

(2)“引垂法”的關鍵在于找到直線上一個點后，分別作出它與x，y軸的垂線，其垂足之處對應的數字的絕對值就是該點到坐標軸的距離.

4 結語

“蝴蝶法”作為一次函數自變量取值范圍問題的解決方法，其適用范圍非常廣，一次函數與二次函數圖象或一次函數與反比例函數圖象等都可以利用.另外，在利用該法解決問題時，教師要注重學生圖象觀察能力的培養，讓學生在數形結合中體會數學的魅力，進而掌握這類問題的解決方法[4].