中職數學中的一元線性回歸教學技巧探討

摘 要： 回歸分析在中職數學中屬于難度較大的內容，理解回歸分析的思想、回歸方程與函數的聯系與區別、回歸與相關的聯系與區別、回歸方程的估計與解釋等問題，是進一步學習統計學等相關課程的必備基礎。本文對一元線性回歸的教學內容、形式、技巧作探討。使用案例教學、啟發式教學、實踐教學等教學方法，使得中職學生能夠深入理解回歸分析并學以致用。

關鍵詞： 中職數學教學 一元線性回歸 教學技巧

正如哲學所言，事物是變化的，于是有了變量。而一切自然現象和社會現象都不是孤立存在和變化的，事物與事物之間，變量與變量之間，都存在著某種關系。這類關系大體可分為兩類：一類是確定性的，可以用函數關系表述。另一類是非確定性的，可以用統計關系表述。而回歸分析是度量統計關系的方法中很常見和重要的一種?；貧w分析在中職數學中屬于難度較大的內容，理解回歸分析的思想、回歸方程與函數的聯系與區別、回歸與相關的聯系與區別、回歸方程的估計與解釋等問題，是進一步學習統計學等相關課程的必備基礎。本文對一元線性回歸的教學內容、形式、技巧作探討。在教學中使用案例教學、啟發式教學、實踐教學等教學方法與技巧，使得中職學生能夠深入理解回歸分析并學以致用。

一、回歸方程與函數的聯系與區別。

學生會發現回歸方程和函數公式法表達式非常像，比如一元線性回歸方程的樣本回歸方程就是一條直線，也如函數表達式一樣由y和x表達，也可以叫因變量和自變量，也能代入x解出y的點估計值，斜率系數也可以和微積分中一樣解釋為導數，截距系數的解釋也一樣表示x=0時y的取值。所以學生容易把兩者混淆，認為既然兩者那么類似，為什么要那么辛苦地學習回歸分析呢？所以筆者認為講解回歸分析，首先要讓學生理解回歸分析與函數的聯系與區別。

一切自然現象和社會現象都不是孤立存在和變化的，事物與事物之間，變量與變量之間，都存在著某種關系。這類關系大體可分為兩類：一類是確定性的，可以用函數關系表述。另一類是非確定性的，可以用統計關系表述。而回歸分析是度量統計關系的方法中很常見和重要的一種?？梢耘e一些函數關系的例子：某種商品的銷售額y與銷售量x之間的關系可表示為y=px（p為單價）；圓的面積S與半

函數關系 統計關系

圖1 函數關系與統計關系圖形表述的聯系與區別

函數關系與統計關系的聯系與區別可以借用哲學語言，函數關系只關注必然性，認為x與y的關系是必然的，沒有偶然性的。而統計關系（包含回歸分析）是兼顧必然性與偶然性，試圖在偶然性中找到必然性，這種必然性的表達就會類似于函數表達式，但是統計關系總是保留偶然性，不會忽視偶然性，正所謂偶然性與必然性的對立統一。

二、先講解相關分析再講解回歸分析。

相關分析和回歸分析具有非常密切的聯系，首先，變量間有相關關系才可以做回歸分析，學生發現只要把兩個變量放在一起做回歸就能夠得到回歸方程，就容易以為是數學游戲，不管變量間是否具有理論與常識中的關系，都使用回歸分析，造成誤用，得到的結果也無法解釋或者缺乏現實意義，這就是偽相關和偽回歸。可以舉以下例子：G.烏迪內·尤樂在1926年發現用英格蘭和威爾士1866—1911年間人口死亡率的年數據與英格蘭所有結婚中到教堂舉行儀式所占比例的相關系數是+0.95，然而沒有一個英國政客為了賜予選民長生不老而提議關閉英格蘭的教堂。韓德瑞發現，在英國，通貨膨脹率與年累計降雨量有很強的正向關系，那么，如果英國能夠降低其通貨膨脹率，作為獎勵，就可以享受改善氣候之無法估計的意外效果，那該多好啊。但是，這種絕妙的結合是不會發生的。

最簡單的相關分析，就是做出皮爾遜簡單相關系數r，但是r有很大的缺陷，比如圖2中AB兩條直線的相關系數r是一樣的，但是x與y的關系明顯不同，斜率與截距都不同，那么怎么表達出來呢？回歸分析可以區分兩條直線，這就導入了回歸分析。

圖2 兩組樣本具有相同的相關系數不同的回歸方程

三、應用啟發式教學方法從圖形視角理解最小二乘法。

面對圖2這樣的樣本點，怎樣得到回歸方程的估計呢？根據數形合一，即怎樣在圖形里面畫直線最好，最能夠提煉挖掘樣本點的信息呢？這里我們使用啟發式教學方法，或者類似于蘇格拉底問答法。首先提問：面對這些樣本點，怎樣作一條最好的直線，最能代表樣本點所蘊含的信息呢？有學生說：讓直線穿過所有的點，我問：你能夠找到這樣的直線嗎？學生發現不能。又有人提出：兩點決定一條直線，可以用兩點。我反問：用哪兩個點，為什么？丟棄信息的方法是最優的嗎？如果可以這樣，為什么說抽取樣本越多越精確呢？學生發現無法回答，只得出不能只看兩個點，應該考慮全部的樣本，而且得出直線離這些樣本點最近就可以了。怎么表示最近呢？點離直線的距離的度量有幾種，比如歐式距離、水平距離、垂直距離，其中垂直距離容易處理，而且現實意義豐富，因為就是樣本點真實值與樣本回歸直線估計值的差距，即為殘差。有學生說：殘差之和最小就可以了。我問：殘差有正負數，如果相互抵消是否會誤導？學生回答：那就用絕對值去掉負號。我又問：我們在學中學數學的解不等式和方程時，遇到絕對值都覺得不方便處理，這里用絕對值就會導致連加號不方便運算，怎么辦？有學生回答：取平方。于是得到殘差平方和最小表示樣本回歸直線是最好的。從而把問題變成求最小值的問題了，而這就是最小二乘法的來由。

此時引入孔子在《中庸》所說的“道不遠人”，子曰：“道不遠人，人之為道而遠人，不可以為道。”即中庸之道是離人不遠的，假使有人遵行中庸之道而遠離人群，那就不可以稱之為道了。物理學家名言：電場、磁場就像我身邊的桌子和椅子一樣真實地存在。數學難道離我們遠嗎？你不也會有這種直覺嗎？只是數學形成一個邏輯體系，對我們的直覺證實或證偽而已，于是更為嚴謹、簡練、精確。同時數學形式上更為抽象、深奧、晦澀。

四、鼓勵學生自己搜集數據，操作軟件解決實踐中的問題，培養學生學以致用的能力。

可以舉實際生活中一些有趣的例子，比如：假設你接受了一份暑期工作，在當地的游樂園給游客猜體重。如果你對他們體重的猜測誤差不超過3公斤，游客將付給你5元，而當誤差超過3公斤時，你就要給游客一個小獎品，而每個獎品都是你花1元買來的。幸運的是，游樂園的經理在游客背后的墻壁上做了一些高度標記，使你能夠準確地測量出游客的身高。除了身高和（通常還有）性別外，你無法得到游客更多的信息。怎樣讓你盈利盡可能多呢？你決定搜集數據進行回歸，用于估計身高和體重之間的關系。因為大部分的參與者都是男性（女性那么喜歡減肥，才不愿意和你猜體重），你決定將你的樣本局限于男性。這樣的實踐案例，既能夠讓學生在趣味實踐中鞏固知識，加深理解，增強解決實際問題的能力，又能夠提高學習的積極性和學習興趣，有利于進一步學習，形成良性循環。

參考文獻：

[1]王少平，楊繼生，歐陽志剛.計量經濟學[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]金蘭.回歸分析與方差分析教學的幾點思考[J].統計教育，2006（11）.

[3]曾麗娟.淺談非統計專業學生回歸分析的教學方法[J].知識經濟，2013（1）.