探索與還原法在文科高等數學概念引入中的應用

摘要： 本文主要研究探索與還原法在文科高等數學概念引入中的作用，并用實際案例的方式探求：用還原法降低高等數學概念的抽象性，使得學生在接受概念的同時，進一步理解概念在實際生活中的應用。

關鍵詞： 文科高等數學教學 探索與還原法 概念引入 實際應用

文科高等數學的教學對象是文科學生。所以在教學中，如果直接給出一些抽象晦澀的概念，接下來講授純粹的推理和邏輯，學生就很難產生學習興趣。強行灌入概念會導致學生被動學習，很難達到預想的教學效果。我根據近年的教學實踐，發現帶動學生發現探索數學問題的背景，還原數學的實際意義，學生的學習興趣更為濃厚，從而達到理想的教學效果。引導學生進行探索性學習也符合現代的教學理念，教育者的共識是：任何創造、發明都起源于問題，把學生課堂學習的過程變成學生探索問題、解開謎底的過程，就可以把學習變成內在的需要和工具。在數學概念的引入過程中也要培養學生的問題意識，問題的提出和概念作為工具性能的引入可以提高學生解決問題的能力，并理解概念在解決問題的過程中所具備的自然性和必然性，進而培養學生創新精神和實踐能力，這也是現代教學改革的重要目標和任務。以下是我在教學中一些具體的案例，從這些案例中我們可以看到探索性學習的意義所在。

一、探索性學習，可以還原一些問題的實際背景，有助于學生理解抽象的數學概念。

案例一：極限的引入

對于初次接觸高等數學的學生而言，極限這一概念，即便引入“日取一半，終究而竭”等典故，學生接受起來還是有一定的難度。如果開始就用ε-δ的方式，則學生更覺得是非常勉強地被灌入一個陌生的概念。我是用如下方式引入的：先請學生分別計算■×3和0.3×3，讓學生產生疑惑：為什么1與0.9的差別最后消失？然后再引入極限的概念，這對于抽象思維差一點的文科生相對容易接受，畢竟他們能夠很容易地計算這兩個式子，知道兩者是相等的。這樣，把抽象的概念還原到小學數學的知識背景中，讓他們能夠在疑惑之后很自然地接受極限的概念。這個概念對于以后定積分的講授也是有幫助的。

案例二：定積分的概念引入

把一個大的困難問題分散成若干小問題，然后分0NUcPWBfqL2bLYFV6YHXTA==別處理，最后綜合協調，將這個大的問題解決，這樣的解決方案符合一般人的思維習慣。這種方式也適合定積分概念的引入。所以，為降低學生對定積分概念的理解難度，針對自己所教的園林地理專業，我首先和學生一起復習規則圖形的面積公式，然后給出一些可以分散成三角形，矩形，圓形等圖形的不規則圖形，要求學生計算出面積。最后給學生一些不規則但邊界曲線保持連續的圖形，要求學生算出面積。學生解決問題的積極性很高，先各個擊破，再集中處理，最后沿用書上關于圖形面積的講授，也即分割、取近似、求和、取極限，學生接受起來容易，所達到的效果較直接講授更好。

案例三：秩的概念引入

矩陣概念的引入通常是用線性方程組的實際背景而引入的，然而在講述秩的概念的時候，通常卻離開了這一背景，直接用最大非0的子式存在性來找尋階數，用以定義矩陣的秩。對于學生而言，接受起來是比較困難的，并且感受不到“秩”的用途。我結合矩陣與方程組的緊密聯系引入：從方程開始，我主要給學生信息安全方面的應用，探求性地引入方程組。當學生理解一個又一個的方程是信息點，是用以解決未知的信息盲點的時候，對矩陣的秩有了更直觀的感受。秩實際是描繪有用方程的個數，在應用中，其實就是描繪有用的信息點。對于已知信息點的重疊和組合，表現在線性方程組上就是方程的同解方程或其他幾個方程的線性組合，這樣的信息是其他信息點的重述，可以舍棄不用，表現在矩陣上，就是對秩不會有增加作用，所以秩可以描繪有用方程的個數。這樣學生接受比較容易，并且對化解一般矩陣為最簡型矩陣的線性方法也有一定體會。諸如矩陣的初等變換，學生一般只是死記。但學生如果明白矩陣與線性方程組的實際背景，還原到實際應用中，方程兩邊同時乘以0，就會使得這一個方程消失，從而導致信息點喪失，對矩陣的初等變換一定要在某行（列）乘以非0的數就能夠理解了。對于矩陣行列互換只是信息點以不同順序輸入；把某行（列）的k倍加到某行（列）上，對于實際背景，是信息疊加。這樣，學生對三種初等變換對秩沒有影響就更深有體會。這種教學方法不僅能提高學生的學習興趣，而且能有效提高他們的學習和應用能力。

二、探索性學習，把很多實際問題歸結為數學知識來解決，有助于理性思維的培養。

這對于文科學生而言，是大有裨益的。在概率的講授中，這方面的作用尤其明顯。概率與統計本身就來源于生活實際，開始給學生講授生活中的現象，然后把這些現象歸結于概率，無疑是很好的引入方法。我在這方面的講解中，更注重引導學生思考：第一個人為什么會注意到這種現象，為什么會用數學的知識來解釋？瑣屑小事的發生頻率，某一些賭博現象，看起來平凡的事件，為什么就引起概率這一系統性學科的發展？歸根到底，是因為規律的存在。在講授隨機事件的同時，我也鼓勵學生探索，在純人文的學科中，如果找到某種規律，是否也可發展成某一個完整的體系和學科。學生受到鼓勵，能夠大膽用自己的語言描繪概率的概念，然后和書上對比，理解經典概念的準確性。這樣，比老師在黑板上直接給出概念所達到的效果更為理想。

現代教學強調以人為本，因為我們的教學對象是擅長直觀和形象思維的文科學生，因此在完成數學教學任務的前提下，既要降低數學的抽象性，又得讓他們理解所有大綱要求的知識點，教師要下一番工夫：不能照本宣科，要引導學生主動參與、樂于研究，從而形成積極主動的學習態度。而在實際的課堂教學中培養學生的探索意識，善于發現問題的背景，并能自主理解概念定義的合理性，不僅有助于學生理解數學概念，更能較好地培養學生的創造性思維能力。

參考文獻：

[1]宋際平，龍述君.大學文科數學[M].北京：郵電大學出版社，2011.

[2]王章雄.大學文科數學[M].北京：人民大學出版社，2007.

[3]汪國柄.大學文科數學[M].北京：清華大學出版社，2005.