初中幾何入門的訣竅

摘 要： 初中幾何入門是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，重點(diǎn)。初中幾何入門有三點(diǎn)訣竅：一是對(duì)概念用形象識(shí)別，二是靈活地把定理的“文字語(yǔ)言”翻譯成“幾何符號(hào)語(yǔ)言”，三是初學(xué)者掌握證明題的格式尤為重要。把握這三點(diǎn)訣竅，學(xué)生就能感到幾何易記易懂易學(xué)易證明，真正體會(huì)到成功地進(jìn)行幾何推理論證的樂趣，從而發(fā)現(xiàn)幾何很容易學(xué)。

關(guān)鍵詞： 初中幾何入門 概念 文字語(yǔ)言 幾何符號(hào)語(yǔ)言 證明題格式

初中幾何入門是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)、重點(diǎn)。常言道：“幾何頭，代數(shù)尾。”意思是剛學(xué)幾何的時(shí)候覺得很難很難，即入門難。代數(shù)則是學(xué)到最后比較復(fù)雜，學(xué)起來比較吃力，即代數(shù)尾。

在初中階段，數(shù)學(xué)學(xué)科增加了一項(xiàng)新的教學(xué)內(nèi)容——平面幾何，這樣一來數(shù)學(xué)課的內(nèi)容便包括代數(shù)和幾何，并發(fā)生了由數(shù)到形，由計(jì)算到推理的轉(zhuǎn)變，要用說理的論證方法，另初學(xué)者深感頭痛。初中幾何入門的訣竅，對(duì)以后的學(xué)習(xí)有很大的幫助。

一、對(duì)概念用形象識(shí)別

就七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第二章平行線與相交線這一章內(nèi)容來說，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)大綱、教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際情況選用符號(hào)幾何學(xué)科認(rèn)知規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知特征的教學(xué)方法，適當(dāng)放慢教學(xué)進(jìn)度，分散難點(diǎn)，分層遞進(jìn)地開展教學(xué)。認(rèn)識(shí)“三線八角”即兩條直線被第三條直線所截形成八個(gè)角，即是同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角，我們可以根據(jù)其構(gòu)成的圖形形狀來識(shí)別，用“形象識(shí)別法”判斷同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。如圖1，用三個(gè)字母——“F、Z、U”形象識(shí)別，構(gòu)成同位角的三線所圍成的圖形像字母“F”（或變形的），構(gòu)成內(nèi)錯(cuò)角的三線所圍成的圖形像字母“Z”（或變形的），構(gòu)成同旁內(nèi)角的三線所圍成的圖形像字母“U”（或變形的）。當(dāng)然，在一些圖形中，這些字母可能是倒置、翻折或橫放的。

如圖2，很快地找出同位角（F）有∠1與∠5，∠3與∠7，∠2與∠6，∠4與∠8；內(nèi)錯(cuò)角（Z）有∠3與∠6，∠4與∠5；同旁內(nèi)角（U）有∠4與∠6，∠3與∠5.這樣學(xué)生學(xué)起來不再感到煩、難，既提高了學(xué)習(xí)興趣，又提高了認(rèn)知能力。

二、靈活地把定理的“文字語(yǔ)言”翻譯成“幾何符號(hào)語(yǔ)言”

學(xué)習(xí)幾何，就像我們學(xué)英語(yǔ)一樣，要做到“英漢”互譯，就是把文字語(yǔ)言翻譯成相應(yīng)的幾何符號(hào)語(yǔ)言（這其中涉及圖形語(yǔ)言）。幾何是研究圖形性質(zhì)的一門學(xué)科，它有獨(dú)特的語(yǔ)言表達(dá)形式，對(duì)于每一個(gè)幾何概念一般都可以用文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)。這三種語(yǔ)言統(tǒng)稱為幾何語(yǔ)言。我們可以逐步從直觀的圖形語(yǔ)言過渡到抽象的符號(hào)語(yǔ)言，再由抽象的文字、符號(hào)語(yǔ)言返回到圖形進(jìn)行強(qiáng)化理解，形成“互譯”能力，為推理論證打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)文字語(yǔ)言，使學(xué)生易記易懂易學(xué)，如探索直線平行條件的三個(gè)定理：1.同位角相等，兩直線平行，依據(jù)為“F相等，//”記為：∠1=∠2，a∥b（同位角相等，兩直線平行）；2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，依據(jù)為“Z相等，//”記為：∠3=∠4，a∥b（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；3.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，依據(jù)為“U互補(bǔ)，//”記為：∠4+∠5=180°，a∥b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）。反過來，平行線的性質(zhì)可記為“//，F(xiàn)相等”記為：a∥b，∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）；“//，Z相等”記為：a∥b，∠3=∠4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）；“//，U互補(bǔ)”記為：a∥b，∠4+∠5=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），如圖3：

學(xué)生對(duì)性質(zhì)定理理解透徹，克服幾何難學(xué)的障礙，用符號(hào)表達(dá)文字，大大提高了學(xué)習(xí)興趣，為幾何的推理論證奠定了基礎(chǔ)。強(qiáng)化訓(xùn)練學(xué)生及時(shí)把所學(xué)的定義公理定理等根據(jù)不同的圖形特征翻譯成相應(yīng)的幾何符號(hào)語(yǔ)言。教師可以填空題的形式引導(dǎo)學(xué)生做題，易學(xué)易懂，然后學(xué)會(huì)證簡(jiǎn)單的證明題，在改變某些條件逐步加深難度，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生推理論證的能力。如七年級(jí)下冊(cè)（P69）隨堂練習(xí)1，填空：（1）線段AD是△ABC的角平分線，那么∠BAD=1/2？搖？搖 ？搖？搖；（2）線段AE是△ABC的中線，那么BE=？搖？搖？搖 ？搖=？搖 ？搖？搖？搖BC，先把文字語(yǔ)言翻譯圖形語(yǔ)言，例：（1）翻譯圖4可填∠CAD，∠BAC，（2）翻譯圖5：可填EC=1/2BC.

最后，以“循序漸進(jìn)”為原則，逐步培養(yǎng)學(xué)生推理論證的能力。大多數(shù)學(xué)生對(duì)推理論證題感到頭痛，因?yàn)橥评碚撟C題是對(duì)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力的測(cè)試和評(píng)估。例如，如圖6，BE平分∠DBA，∠2=∠C，寫出判定EB∥AC的推理過程。

解：∵BE平分∠DBA

∴∠1=∠2（角平分線定理）

又∵∠2=∠C（已知）

∴∠1=∠C（等量代換）

∴EB∥AC（同位角相等，兩直線平行）

上例推理過程的每一個(gè)步驟都必須把原因?qū)懬宄@對(duì)初學(xué)者很重要。學(xué)生寫推理論證要做到有理有據(jù)。

三、初學(xué)者掌握證明題的格式尤為重要

在多年的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對(duì)證明題有一種“說不清，道不明”的感覺，無從下筆。如果克服了“說理”論證中的“說”這個(gè)問題，知道從何處下筆，幾何證明就會(huì)變得簡(jiǎn)單。故初學(xué)者首先應(yīng)掌握證明題的格式。七年級(jí)數(shù)學(xué)（下冊(cè)）P78，探索三角形全等的條件，有SSS，SAS，AAS，ASA，HL五種定理。現(xiàn)以“SSS”定理內(nèi)容為三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成邊邊邊或SSS。

第一步：先翻譯圖形，如圖7：

第二步：把圖7的圖形語(yǔ)言翻譯幾何符號(hào)語(yǔ)言。即格式：

解：在△ABC和△DEF中

∵AB=DE（已知）

BC=EF（已知）

AC=DF（已知）

∴△ABC≌△DEF（SSS）

古人云“依樣畫葫蘆”，同理SAS先畫出圖形，讓學(xué)生依樣畫葫蘆模仿SSS的格式寫證明，如圖8：

解：在△ABC和△XYZ中

∵AB=XY（已知）

∠B=∠Y（已知）

BC=YZ（已知）

∴△ABC≌△XYZ（SAS）

讓學(xué)生熟悉定理寫證明的格式后，再看題目給出的條件，不是一目了然，讓學(xué)生先找一找缺了哪些條件，先證出條件，再運(yùn)用證明格式。例：教材P140知識(shí)詳解，已知如圖9：AB=CD，AE=DF，CE=FB，試說明∠B=∠C。

學(xué)生剛看到這道題會(huì)感到束手無策，我們首先把給出的條件在沿途中做標(biāo)志可發(fā)現(xiàn)，若△ABE≌△DCF，則∠B=∠C。根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等再認(rèn)真分析所給的三條邊相等的條件只有兩組AB=DC，AE=DF可用，而BE=CF，題意未說明，只給出CE=FB，再看一看，有EF=EF公共邊，∴CE+EF=FB+EF，所以在證△ABE≌△DCF之前先證BE=CF即可。過程如下：

證明∵CE=FB

∴CE+EF=FB+EF

即CF=BE

在△ABE和△DCF中

∵AB=DC（已知）

AE=DF（已知）

BE=CF（已證）

∴△ABE≌△DCF（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）

對(duì)于初學(xué)幾何者來說，學(xué)會(huì)寫幾何證明的格式是至關(guān)重要的。就像寫作文要有提綱一樣，寫幾何證明要有格式，如果學(xué)生頭腦思路清晰，證明過程就會(huì)寫得流暢。如果熟悉了，就可以不用太過強(qiáng)調(diào)格式。

總之，初中幾何入門的訣竅是：對(duì)概念用形象識(shí)別，靈活地把定理“互譯”，并掌握證明題的格式，這對(duì)初學(xué)者是行之有效的。然后不斷培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生感到幾何易記易懂易學(xué)易證明，真正體會(huì)到成功地解決幾何推理論證的樂趣，從而發(fā)現(xiàn)幾何很容易學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

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