淺析一階常微分方程的解法問題

摘 要： 一階常微分方程的解法多種多樣，本文通過三個例子說明這些解法在具體方程求解中的運用.

關鍵詞： 一階常微分方程 線性微分方程 分項組合法 積分因子

常微分方程是大學數學專業的一門重要基礎課程.常微分方程課程的學習不僅可以鞏固數學分析、高等代數課程的學習，而且為后續課程如泛函分析、偏微分方程和微分幾何的學習打下基礎.常微分方程還在工程技術領域發揮重要的作用，常微分方程理論可以解決和分析實際科學領域眾多的數學模型.因此，學好常微分方程顯得至關重要.

常微分方程理論包括求解理論、定性分析、穩定性分析、分支理論和混沌等，其中求解理論是大學常微分方程課程學習的一個重點內容，包括了一階常微分方程、高階線性常微分方程和一階線性微分方程組的解法.特別地，一階常微分方程的解法又是多種多樣的，包含變量分離方法、變量變換法、線性微分方程的通解公式法、分項組合法和積分因子法等.本文就通過下面幾個具體例子的分析求解，說明一階常微分方程解法的多樣性.

一階常微分方程的解法是多種多樣的，我們在具體問題的求解時要將所求方程與相應的方法對應起來，正確地解決問題.具體地說，在方程未知函數的導數已解出的情形下，常常是根據所給方程的特點，設法做適當變換，將其化為可分離變量的方程或其他易于求解的類型；在解以微分形式出現的一階常微分方程時，應考慮用分項組合法和積分因子法求解.此外，對于同一個方程，可能有不同的解法，我們要注意比較哪種解法更簡單，而這都需要仔細的觀察及大量的練習，這對于學好常微分方程這門課程非常重要.

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