有效求解積分的幾種方法

　　摘要： 求解微分方程時都需要求積分，求積分的方法是非常靈活的，對于不同形式的積分有不同的方法.文章給出了幾種求積分的方法，有一般方法和特殊方法，方便以后求積分時應用.
　　關鍵詞： 積分函數一般方法特殊方法
　　
　　微積分中研究了變量的各種函數及函數的微分與積分.但是如果函數未知，知道變量與函數的代數關系式，便可組成代數方程，通過求解代數方程解除未知函數.同樣，如果知道自變量、未知函數及函數的微分組成的關系式，則得到的便是微分方程，通過求解微分方程求出未知函數.自變量只是一個的微分方程則可稱為常微分方程.常微分方程是數學分析或是基礎數學的一個組成部分，在整個數學學科中占據著重要的位置.
　　在求解微分方程時最關鍵的一步是求積分，即微分方程求解出的最終形式用初等函數表示出來，但是也不勉強從其中求出解的顯示表達式.因此從微分方程求解的意義上講，最終留下的是一個積分問題，而不是一個方程問題.因此如何求解函數的積分成為至關重要的步驟.
　　1.求解積分的一般方法
　　1）對于一些基本的初等函數，熟記這些函數的積分公式表，比如：三角函數、反三角函數、冪函數、對數函數、指數函數等一些基本的函數的公式，可以直接積分.
　　2）換元積分法，可以利用三角函數代換或者導數代換之類的.
　　3）分部積分法：
　　①具有形式?蘩x■e■dx;?蘩x■a■dx;?蘩x■sinxdx;?蘩x■cosxdx（k為正整數），甚至形如
　　?蘩p（x）e■dx;?蘩p（x）a■dx;?蘩p（x）sinbxdx;?蘩p（x）cosbxdx
　　（p（x）為多項式）這類積分，先積指數函數或者三角函數.
　?、诰哂行问?br/>　　?蘩x■lnxdx;?蘩x■loga■dx;?蘩x■arcsinxdx;?蘩x■arccosxdx;?蘩x■arctanxdx;?蘩x■arccotxdx（k為正整數或0），
　　甚至形如
　　?蘩p（x）lnbxdx;?蘩p（x）loga■dx;?蘩p（x）arcsinbxdx;?蘩p（x）arccosbxdx;?蘩p（x）arctanbxdx;?蘩p（x）arccotbxdx
　　這類積分，先積x■或者p（x）.
　　4）對于形如?蘩■和?蘩■dx（a■-4b＜0）
　　這兩種類型的積分，有：
　　?蘩■=ln|x-a|+C，k=1■+C，k＞1
　　?蘩■dx，令t=x+■進行代換即可.
　　5）對于形如三角函數有理式?蘩R（sinx，cosx）dx的積分，可以通過萬能代換式t=tan■，轉化為有理函數的不定積分.
　　6）對于形如?蘩R（x，■）dx（ad-bc=0）無理根式的積分，令t=■
　　轉化為有理函數的不定積分；
　　形如
　　?蘩R（x，■）dx（a＞0，b■-4ac≠0;a＜0，b■-4ac＞0）
　　先將里面的一元二次方程配方，轉化為形如這三種類型的方程：
　　?蘩R（m，■）dm;?蘩R（m，■）dm;?蘩R（m，■）dm
　　再利用三角代換，分別令m=ntant，m=nsect，m=nsint，將它們轉化為三角有理式的不定積分.
　　2.求解積分的特殊方法
　　1）對于有些有理函數的積分，如果其分母在實數域內是個不可約多項式，則可以利用復變函數里面的留數理論討論.先找被積函數的輔助函數，通常有■和lnz這兩種類型，并求出它的支點；再避開支點作復圍線，判斷復圍線有沒有幾點，然后利用柯西積分定理和留數定理討論積分等式；最后分別討論積分等式兩邊的積分即可.
　　2）當函數的分子、分母都含有sinx，cosx，并且次數都為一次時，可以用待定系數法求積分.
　　3）對于可以用分部積分法求解的不定積分?蘩g（x）h（x）dx，如果化簡到后面還是比較繁瑣，則此時可以運用“平行微積分法”求解.首先確定哪個微分g（x），h（x）哪一個積分；其次，比如此時設求g（x）的微分，那表示如下：
　　g（x）+h（x），g■（x）-h■（x），g■（x）+h■（x），…，g■（x）-h■（x），g■（x）+h■（x）
　　其中g■（x）是g■（x）求導數得來的，h■（x）是h■（x）求積分得來的.最后，直接可以得出結果，即
　　?蘩g（x）h（x）dx=g（x）h■（x）-g■（x）h■（x）+…+（-1）■g■（x）h■（x）+…+（-1）■g■（x）h■（x）+（-1）■?蘩g■（x）h■（x）dx
　　需要注意的是：（ⅰ）符號一直是正負號相間隔的；（ⅱ）如果?蘩g■（x）h■（x）dx是否容易求出，若可以直接求出，就不需要再繼續對g■（x）求導數和h■（x）求積分.
　　4）如果被積函數f（x）較復雜，可以將其分解為若干個函數的線性組合，即f（x）=m■f■（x）+m■f■（x）+…+m■f■（x），m■為實數，f■（x）是較容易求出的被積函數，那此時
　　?蘩f（x）dx=m■?蘩f■（x）dx+m■?蘩f■（x）dx+…+m■?蘩f■（x）dx
　　此時原來函數的積分就轉化為n個容易求積分的被積函數的線性組合了.
　　3.小結
　　求積分在數學分析里是至關重要的，同時也為專業教學提供可靠的教學工具和解決問題的手段。積分學掌握的情況不僅直接影響到該課程本身的學習，而且影響到其他相關學科，比如常微分方程，在微分方程里求積分也是很非常關鍵的步驟，順利地求解函數的積分對于解決問題有很大的幫助.因此對求積分的方法研究和歸納具有很重要的意義.
　　
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