解決初中幾何最值問題的三種方法

在解決平面幾何問題時，學(xué)生經(jīng)常會遇到求線段或線段和的最值問題。遇到這類題目時，學(xué)生通常不知從何下手。其實(shí)，解決這類問題最常見的思路是“兩點(diǎn)之間線段最短”“點(diǎn)到直線的距離垂線段最短”及“三角形兩邊之和大于第三邊”。

一、利用軸對稱解決線段和最小值

解決線段和最小值的問題經(jīng)常與軸對稱聯(lián)系起來，通過作對稱點(diǎn)把要相加的線段進(jìn)行等量代換，放置在同一條直線上成為一條線段。人教版八年級數(shù)學(xué)教材中有一道例題：“A、B兩鎮(zhèn)在燃?xì)夤艿繪的同旁，現(xiàn)在要修一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站應(yīng)修在什么地方，才能使輸氣管線最短？”

在解答這個例題時，筆者做了其中一個點(diǎn)關(guān)于L的對稱點(diǎn)，此對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)P，即為到兩鎮(zhèn)之間最短距離的地方。在掌握這個例題后，筆者又出了兩道題目：“①在菱形ABCD中（如圖1所示），AB=4a，E在BC上，EC=2a，∠BAD=120°，點(diǎn)P在BD上，則△PEC周長的最小值是 。②如圖2所示，正方形ABCD的邊長為3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，求PE+PC的最小值。

這兩道題目可以直接轉(zhuǎn)化成例題來解答，屬于“兩點(diǎn)一線型”。我們再看下一道題目：“如圖3所示，∠AOB=45°，角內(nèi)有一點(diǎn)P，PO=10，在角兩邊上有兩動點(diǎn)Q、R（均不同于點(diǎn)O），則△PQR的周長最小值是 。”本題只有一個點(diǎn)P，卻有兩條直線OA、OB。本題思路是過點(diǎn)P分別作OA、OB的對稱點(diǎn)，再連接兩對稱點(diǎn)與兩直線的交點(diǎn)，即為Q、R。此時△PQR的周長最小。

這種題目可歸納為“一點(diǎn)兩線型”。如2011年長沙市的一道中考題：“使得函數(shù)值為零的自變量的值稱為函數(shù)y=x-1的零點(diǎn)。例如，對于函數(shù)y=x-1，令y=0，可得x=1，我們就說1是函數(shù)y=x-1的零點(diǎn)。已知函數(shù)y=x2-2mx-2（m+3）（ m為常數(shù)）。①當(dāng)m=0時，求該函數(shù)的零點(diǎn)；②證明：無論m取何值，該函數(shù)總有兩個零點(diǎn)；③設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為x1和x2，且 。此時，函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)分別為A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），點(diǎn)M在直線y=x-10上，當(dāng)MA+MB最小時，求直線AM的函數(shù)解析式。”

二、利用三角形的三邊關(guān)系解決最小值問題

平面內(nèi)有三個點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)不共線時，構(gòu)成三角形，那么兩邊之差小于第三邊；當(dāng)三點(diǎn)共線時，則兩線段之差等于第三邊。掌握這個規(guī)律之后，我們就可以解決一些線段的最大值問題。如2011年甘肅省蘭州市的一道考題：“如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，正方形OABC的邊長為2cm，點(diǎn)A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B和D（4， ）。①求拋物線的表達(dá)式。②如果點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)，沿AB邊以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q由點(diǎn)B出發(fā)，沿BC邊以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)S=PQ2（cm2）。③試求出S與運(yùn)動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍。④當(dāng)S取 時，在拋物線上是否存在點(diǎn)R，使得以點(diǎn)P、B、Q、R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。⑤在拋物線的對稱軸上求點(diǎn)M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。

三、利用點(diǎn)到直線的距離垂線段最短解決最小值問題

人教版七年級數(shù)學(xué)教材中有一道思考題：“在灌溉時，要把河中的水引到農(nóng)田，如何挖渠最近？”并以此引出垂線段的定義及其性質(zhì)。

我們來看這道題目：“（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2 2 ，0），點(diǎn)B在直線y=-x上運(yùn)動，當(dāng)線段AB最短時，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 。（2）一艘漁船正以30海里/小時的速度由西向東追趕魚群，漁船在A處看見小島B在船的北偏東60°。40分鐘后，漁船行至O處，此時看見小島B在船的北偏東30°。在如圖5所示的坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A位于x軸上。根據(jù)上面的信息，請?jiān)趫D中畫出表示北偏東60°、北偏東30°方向的射線，并標(biāo)出小島B的位置，并求出點(diǎn)A及點(diǎn)B坐標(biāo)。若已知以小島B為中心，周圍10海里以內(nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，問這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有可能進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)？

（作者單位：江西省南康市龍嶺中學(xué)）