淺析線性代數中初等變換方法的應用

摘 要：用初等變換的思想方法分析、解決線性代數中的一些問題。

關鍵詞：初等變換 矩陣 增廣矩陣

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）06（c）-0199-01

線性代數中有諸多的思想方法，其核心是等價分類求標準形以及貫穿全書始終的初等變換的思想方法。初等變換的方法是線代數中分析問題、解決問題的一種非常重要的思想方法之一。這種方法的實質是將問題化繁為簡，化多為少，化大為小，并保持事物的本質不變，矩陣的初等變換計算簡潔便于應用，是研究線性代數問題的一個重要工具。在文獻[1][2]中，已應用矩陣的初等變換解決了：（1）求線性方程組的通解；（2）求可逆矩陣的逆矩陣；（3）化矩陣為標準形；（4）求向量組的極大線性無關組；（5）判斷向量組等價；（6）求多項式的最大公因式、最小公倍式及組合系數多項式；（7）求標準正交基等。初等變換在線性代數中的應用遠不止這些，如何巧妙地運用初等變換去解決線性代數中有些運算復雜的問題會起到事半功倍的效果。以下就初等變換的思想方法在線性代數中的廣泛應用做進一步的總結。

1 基本定理

定理1 矩陣經過初等行（列）變換后，其秩不變。

定理2 設=（）關于基的坐標為（）用矩陣表示成。因可逆，所以，即：

定理3 設矩陣方程，若A可逆，則，即：

推論1設矩陣方程，若A可逆，則，，即：

定理4 對A作一系列初等行變換，同時作相應的初等列變換，把A化為對角形B，其初等列變換把單位陣化為變換陣P

則存在可逆變換，將A對應的二次型化為標準型。

2 典型例題詳解

例1 用初等變換法求矩陣的秩。

解 先把第五行鄰換到第一行：

注意：用初等變換把矩陣化為階梯形或標準形，則階梯形中非零行數r就是矩陣的秩。

3 結論

初等變換在線性代數中的應用非常廣泛，要真正掌握這種方法，才能巧妙地運用其解決線性代數中有些運算復雜的問題，起到事半功倍的效果。

參考文獻

[1]北京大學數學系.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1987.

[2]楊家騏，王卿文.高等代數在初等數學中的應用[M].濟南：山東教育出版，1992.

[3]王文省，姚忠平，鐘紅心.初等變換的思想方法在高等代數中的應用[J].聊城師院學報：自然科學版，2000，13（3）：76-78.