淺析拋物線與幾何問題

考查知識點：二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，勾股定理，平行的判定和性質，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程.

分析：

（1）先根據與x軸的兩個交點A、B的坐標，設出交點式解析式，然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式.

（2）設OP=x，然后表示出PC、PA的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可.

（3）①根據相似三角形對應角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（I）點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，都是-2，代入拋物線解析式計算即可；（II）點H在點C上方時，根據（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯立求解即可得到點M的坐標.

②在x軸上取一點D，過點D作DE⊥AC于點E，可以證明△AED和△AOC相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求解即可得到AD的長度，然后分點D在點A的左邊與右邊兩種情況求出OD的長度，從而得到點D的坐標，再作直線DM∥AC，然后求出直線DM的解析式，與拋物線解析式聯立求解即可得到點M的坐標.

例2：在平面直角坐標系xOy中，點P是拋物線：y=x2上的動點（點在第一象限內）.連接OP，過點0作OP的垂線交拋物線于另一點Q.連接PQ，交y軸于點M.作PA丄x軸于點A，QB丄x軸于點B.設點P的橫坐標為m.

（1）如圖1，當m=時，

①求線段OP的長和tan∠POM的值；

②在y軸上找一點C，使△OCQ是以OQ為腰的等腰三角形，求點C的坐標.

（2）如圖2，連接AM、BM，分別與OP、OQ相交于點D、E，

①用含m的代數式表示點Q的坐標；

②求證：四邊形ODME是矩形.

考查知識點：二次函數綜合題，曲線上點的坐標與方程的關系，菱形的性質，平移的性質，勾股定理，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，平行的性質，相似三角形的判定，解方程和不等式.

考查知識點：動點問題，二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，銳角三角函數定義，特殊角的三角函數值，等邊三角形的性質，直線與圓相切的性質.

分析：（1）已知直線AB的解析式，令解析式的x=0，能得到A點坐標；令y=0，能得到B點坐標；在Rt△OAB中，知道OA、OB的長，用正切函數即可得到∠ABO的值.

（2）當C、A重合時，可知點C的坐標，然后結合OC的長和等邊三角形的特性求出OD、OE的長，即可得到D、E的坐標，利用待定系數即可確定a的值.

（3）作出第一次相切時的示意圖，已知條件只有圓的半徑，那么連接圓心與三個切點及點E，首先能判斷出四邊形CPMN是正方形，那么CP與⊙M的半徑相等，只要再求出PE就能進一步求得C點坐標；可以從PE=EQ，即Rt△MEP入手，首先∠CED=60°，而∠MEP=∠MEQ，易求得這兩個角的度數，通過解直角三角形不難得到PE的長，即可求出PE及點C、E的坐標.然后利用C、E的坐標確定a的值，從而可求出AC的長，由此得解.

解拋物線與幾何的綜合題，在充分利用幾何圖形的性質及題設的基礎上挖掘幾何圖形中隱含的數量關系和位置關系，數形結合，找出圖形中點的坐標、線段的長度等數量關系，把復雜的幾何圖形通過割補分解成基本圖形或補成基本圖形，結合二次函數的圖像和性質解決問題.