在統計教學中用好插值法培養統計人才

摘 要：由于統計課程的公式眾多且計算復雜，在實際教學工作中，統計課程的教學工作難度很大。插值法作為一種方便簡捷的計算方法在財務分析中一直大量而廣泛地使用。教師要以中位數和眾數的計算為例，研究如何靈活運用插值法求解統計課程中組距數列的中位數和眾數，以培養統計人才。

關鍵詞：插值法；中位數；眾數；統計人才

插值法作為一種方便簡捷的計算方法在財務分析中一直大量而廣泛地使用。下面，教師以中位數和眾數的計算為例，闡述如何靈活運用插值法求解統計課程中組距數列的中位數和眾數，以培養統計人才。

一、中位數和眾數

中位數和眾數同屬平均指標，主要用來反映同類現象總體各單位某一數量標志在一定時間、地點條件下所達到的一般水平。

（1）中位數。中位數是標志值按大小順序排列的變量數列中處于中間位置的標志值，用“Me”表示。由于其位置居中，不易受極端數值的影響，因而常用它來代表現象的一般水平。

根據未分組資料確定中位數時，先將總體各單位的標志值按從小到大的順序排列，然后確定中位數所處的位置，處于數列中間位置的標志值即為中位數。確定中位數位置的方法是：中位數位置。當n為奇數時，處于數列中間位置的標志值即為中位數；當n為偶數時，處于數列中間位置的兩個標志值的簡單算術平均數即為中位數。設有一組數據從小到大排序后為，則中位數是X與X的平均數。即

根據組距數列計算中位數的具體步驟是：先計算累計次數，并按公式中位數的位置=確定中位數所在組的位置，然后，再根據公式推算中位數的具體數值。由于在統計工作中累計次數有向上累計和向下累計兩種計算方法，所以中位數的計算分為下限公式和上限公式兩種：

公式中：L表示中位數所在組的下限；U表示中位數所在組的上限；表示中位數所在組以下的累計次數；表示中位數所在組以上的累計次數；fm表示中位數所在組的次數；d表示中位數組的組距。

（2）眾數。眾數是現象總體中出現次數最多的標志值，亦即出現最為普遍、最為常見的數值，用“Mo”表示。眾數具有計量快速、方便，且不易受極端數值影響的優勢。在實際工作中，如果只要求掌握一般常見的數據作為研究問題、安排工作或生產的參考，就可采用眾數來說明現象的一般水平。

眾數的計算分兩種情況，在未分組資料或單項數列中，可用觀察法直接確定眾數，即總體中出現次數最多的標志值就是眾數。

當掌握的資料為組距數列時，先要確定次數最多的一組為眾數組，然后根據數列的次數分布情況，利用公式計算眾數的近似值。其計算公式為：

公式中：L為眾數組下限；U為眾數組上限，Δ1為眾數所在組的次數與其前一組次數之差，Δ2為眾數所在組的次數與其后一組次數之差，d為眾數組的組距。

通過以上介紹可以看出，統計中位數和眾數的計算分為多種情況，每種情況的計算公式又較為復雜、難以理解且容易混淆，給學生的學習造成了很大的困難。

二、插值法

插值法又叫內插法，主要是利用數學上的等比關系，用一組已知的未知函數的自變量的值和與其相對應的函數值來求未知函數其他值的對應自變量的值的近似計算方法。若假設三點在一條直線上，插值法則可以利用直線上任意兩點間橫坐標距離之比等于對應縱坐標距離之比的關系而近似求得其他未知數。

在財務分析中，無論是在貨幣時間價值的計算中求利率i或年限n，還是在債券估價中求債券的到期收益率，或在項目投資決策指標中求內含報酬率等都要大量而廣泛地使用插值法。所以，插值法是財經類專業學生必須熟練掌握的一種計算方法，同樣，這種方法也可用于方便地求解統計中位數和眾數。

三、利用插值法求解組距數列中位數和眾數

在未分組資料中，確定中位數和眾數的方法較為簡單，而根據分組資料計算中位數和眾數的公式容易混淆且難以理解，所以，以下內容著重闡述如何運用插值法來求解組距數列的中位數和眾數。

例：某廠工人生產某零件的有關資料如表1所示，試根據資料計算中位數和眾數。

（1）利用插值法求解中位數。

首先，根據資料確定中位數所在的組：中位數位置===40（人）。根據向上累計次數，第40個工人包含在累計次數50中，說明中位數在累計工人人數為50人的組，即變量值為800～1000件的組；根據向下累計次數，第40個工人包含在累計次數60中，說明中位數在累計工人數為60人的組，該組對應的變量值亦為800～1000件。這說明800～1000件就是中位數所在組。

第二步，分析計算中位數。

如圖1所示，假定整個中位數所在的組內，次數分布是均勻的，橫軸代表的是累計工人人數。800為中位數所在組的下限，對應的累計工人人數為201000為中位數所在組的上限，對應的累計工人人數為50，設我們要求的中位數，即第40個工人所生產的零件個數為X，根據圖2中插值法的對應比例關系，可列方程：=?x=800+×200=933.33（件）。

同樣，我們還可以利用組上限和中位數之間的比例關系，如圖3所示，列得方程：

不管是利用怎樣的比例關系，求得的中位數結果是一致的。利用插值法求解中位數易于理解，且不用記憶公式，在教學過程中深受學生們的歡迎。

（2）利用插值法求解眾數。

仍以表1資料為例，做眾數分布直方圖如圖4所示。假定直方圖橫坐標是組距，即按工人生產零件數的分組；縱坐標是次數分布情況，即各組的生產工人人數。一般來說，在等距數列中次數分布愈集中，直方柱愈高。從圖中可以看出，中間一組即生產的零件個數為800～1000件的那組就是眾數所在的組，其次數分布最集中。G點是眾數所在組的下限：800件，H點是眾數所在組的上限：1000件，GH的距離就是眾數組的組距：200件，MO點就是眾數所在的位置。

分析圖4可以看出，眾數的位置主要取決于眾數所在組的左右兩鄰組的次數分布。如果左右兩鄰組的次數分布相等即高度相等，無疑眾數就在眾數所在組的正中央；如果左鄰組的次數分布高于右鄰組的次數分布，則MO會偏向左邊，靠近眾數組的下限800；如果左鄰組的次數分布低于右鄰組的次數分布，則MO會偏向右邊，靠近眾數組的上限1000。

在直方圖中，AB的距離為△1，且△1=30-12；CD的距離為△2，且△2=30-25。連結AD和BC兩條線段，它們的交點為O，從O點作垂線，與橫坐標軸的交點就是MO，過MO點作平行與橫軸的直線分別相交AB、CD兩條線段于E、F兩點。由于OMO與橫軸垂直，所以，設EO=GMO為X；則OF=MOH=200-X。從圖4中可以發現，△AOB與△COD為對角三角形，即△AOB≌△COD，根據相似三角形的性質，這兩個相似三角形所對應的底邊和高成比例，即=，由于EO=GMO=X；OF=MOH=200-X；AB=△1；CD=△2，所以=，將資料中的數據代入公式中，則：=

參考文獻：

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[2]甘知倫.組距分組數列中位數的計算方法的改進[J].統計與決

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（河南鄭州工業貿易學校）