基于MATLAB的常微分方程教學方法的研究

摘 要：文章主要介紹了如何利用MATLAB進行常微分方程教學方法改革和應用，如利用MATLAB來描繪常微分方程的線素場求解曲線、利用MATLAB描繪常微分方程積分曲線族的包絡等，最后對在常微分方程教學中如何使用MATLAB提高學生學習動力做了結論。

關鍵詞：常微分方程 MATLAB 線素場 包絡

中圖分類號：O175.1

文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2013）01-152-02

微分方程是現代數學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具。它在幾何、力學、物理、電子技術、自動控制、航天等領域都有著廣泛的應用{1}。科學技術和工程中大量的問題都表達為常微分方程的形式，特別是描述系統的動態演變時，如機械振動、數學擺、人口模型、人造衛星軌道方程、化學反應過程等都表達為以時間t為獨立變量的常微分方程或方程組，所以常微分方程在科學技術領域非常重要。

傳統的常微分方程的教學方式主要是“粉筆+黑板”的灌堂式教學，往往偏重于理論學習，給出各種方程（方程組）的解法，以計算為主，而對于抽象的方程的解對應的積分曲線和積分曲線族，以及一些與幾何聯系緊密的概念如線素場、包絡等是學生不容易直觀想象的，致使學生很難理解這些相關概念。

MATLAB語言起源于矩陣運算，是由美國的Cleve Moler博士于1980年提出的并已經發展成一種高度集成的計算機語言{2}。在數值計算、微分方程與模擬仿真等領域MATLAB語言具有其他軟件無法替代的優勢。在常微分方程教學過程中引進MATLAB軟件輔助教學，以培養學生使用Matlab直觀演示微分方程的相關概念，增強學生想象力、激發學習興趣。興趣是學習的原動力，有了興趣，學習才有動力，教學過程才有生機，進而達到理論的升華{3}。

一、常微分方程教學改革的實施與探索

常微分方程課程理論性強，對學生的數學能力要求較高，學生學起來不容易入門。因此在教學改革探索中應該注意如何利用MATLAB使理論學習與計算機演示完整統一起來。課堂是學生學習知識的第一要素，常微分方程課堂學習主要是學習算法、求解方法，加強課堂基礎教學，并以此作為實施教學方法改革的重點尤為重要。首先要讓學生了解常微分方程對本專業后續課程的重要性，引起學生對該課程的重視，學生對一門課程的重視程度會直接影響其對該課程的學習精力的投入{4}。進一步通過介紹微分方程在科學技術廣泛應用特別是微分方程建模的重要性使之進一步提高對課程的學習興趣。學生在學習微分方程的過程中，可以先通過理論方法求出微分方程的解析解，然后利用MATLAB語言的計算速度快、準確性高等特點求出微分方程的數值解并進行比較，通過發現解析解和數值解吻合得很好，從而提高了學生自己動手分析、設計算法的能力。所以，在授課過程中，將基本概念和原理給學生講解透徹的同時又可以充分利用MATLAB將抽象問題具體化，在相關章節的理論課上完就安排對應的上機實驗。MATLAB教學平臺的引入，首先將計算機輔助分析與設計得到簡化，例如為了分析微分方程解曲線，而在黑板上畫出該曲線又很困難，采用MATLAB語言只需簡單指令立即就可以得到微分方程的解曲線，學生就可以直觀分析該解曲線，達到事半功倍的作用。以往的教學，由于受條件所限，一般只能分析簡單的二階系統，而利用MATLAB，就可以對高階系統進行分析研究。因而MATLAB的引入不但使學生有了應用計算機的條件和興趣，幫助學生建立正確的專業思想，而且使學生對常微分方程的解有了較為感性的認識，更促進了學生學習與獨立思考的積極性，同時也激發了學習本門課程的熱情。由于MATLAB語言的先進性，頗受學生的喜愛，更增強了教師在實驗設計上的靈活性與實驗指導工作中的多樣性。

二、利用MATLAB和幾何法理解微分方程的線素場

微分方程最初是從物理和幾何中的問題引出的，從物理和幾何直觀的角度來理解微分方程的解可以使我們對所討論的問題有一個簡單而鮮明的形象。很多微分方程的解析解并不能直接表達出來，數值解只能得到一些離散點處的近似值。如果我們想知道積分曲線的走向，大致形狀等，光憑學生的想象力是很難的，而通過MATLAB將方程的線素場描述出來，積分曲線就很容易看出來了，直觀、易懂。

四、結論

傳統教學模式的弊端，往往使學生感到學習困難，教學效果不理想，MATLAB教學的引入，能夠化繁為簡，化抽象為具體，加深學生對本課程的掌握程度。利用MATLAB能將常微分方程用多方式、多途徑來求解，從而拓寬學生的解題思路，并為后繼課程打下基礎，在此基礎上進行的教學改革可以提高整體教學質量。身為教師需要樹立終身學習的理念，在知識的創新實踐中改革教學方法、教學手段，提升自己的教學魅力，才能適應時代要求，培養學生的創新精神和解決問題的綜合能力。

[本文為黑龍江科技學院教學研究項目（98）-基于MATLAB的信計專業數學類課程群教學改革的研究與探索]

注釋：

{1}朱春蓉，鄭群珍.Maple在常微分方程教學中的應用[J].河南教育學院學報（自然科學版），2009（3）

{2}何雙.MATLAB在常微分方程初值問題的應用[J].長春師范學院學報（自然科學版），2005（3）

{3}劉衛國.MATLAB程序設計教程（第二版）[M].中國水利水電出版社，2010

{4}V. I. Arnold， Ordinary Differential Equations[M]， MITPress， Princeton， 1973.

（作者單位：黑龍江科技學院計算機學院 黑龍江哈爾濱 150027）

（責編：呂尚）