淺析幾何平均數(shù)在物理中的應(yīng)用

摘 要： 幾何平均數(shù)在高中物理學(xué)習(xí)中時常遇到，本文以引力勢能推導(dǎo)和減小惠斯通電橋?qū)嶒炚`差為例，介紹幾何平均數(shù)在物理中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 幾何平均數(shù) 引力勢能 惠斯通電橋 實驗誤差分析

1.幾何平均數(shù)

幾何平均數(shù)是一種具有特殊用途的平均指標.總體的總量不等于各分量之和，而是等于分量的乘積，對于這樣的現(xiàn)象，總體求平均數(shù)要用到幾何平均數(shù).幾何平均數(shù)是n個變量值連乘積的n次方根，計算公式為==.

如，某產(chǎn)品需經(jīng)三個車間加工，已知第一個車間加工合格率為95%，第二個車間加工合格率為90%，第三個車間加工合格率為98%，三個車間平均加工合格率是多少呢？在連續(xù)作業(yè)下，后一車間的產(chǎn)品合格率是在前一車間產(chǎn)品合格的基礎(chǔ)上計算的，產(chǎn)品總合格率并不等于各車間合格率的總和，而是等于各車間產(chǎn)品合格率的連乘積.因此計算平均合格率要用幾何平均數(shù)，得到三個車間平均加工合格率===94.3%.

幾何平均數(shù)在高中物理學(xué)習(xí)中時常遇到，下面以兩則應(yīng)用為例，介紹利用幾何平均數(shù)處理物理問題的方法.

2.引力勢能公式的推導(dǎo)

萬有引力做功，是變力做功.根據(jù)萬有引力定律，在離地心距離為r處的萬有引力為F=-G，這里取徑向向外為正向.當一物體從r′沿徑向移至r″的過程中，萬有引力做功可以這樣計算：把r′到r″中間分成無限小段，取其中第n小段，徑向距離從r到r，如圖1所示.由于Δr=r-r極小，在這小段上的萬有引力近似為一個常量，其值可以取為

圖1

F=-G

即取Δr中點處引力值.分母中化簡，并舍Δr去的二次項，便有

F=-G（幾何平均數(shù)r=）

引力在Δr上做功為

ΔW=F·Δr=-GMm=-GMm（-）

物體從r′到r″引力做功為

W=∑ΔW=∑F·Δr=-GMm∑（-）=-GMm（-）

根據(jù)萬有引力做功與物體引力勢能的關(guān)系W=-ΔE=-（E″-E′），得

引力勢能表達式E′=-G.

上述推導(dǎo)中，用到了幾何平均數(shù)r=，從而有F=-G，這對于初始引入微元方法來說，這種處理是非常有效的.這類似于勻變速直線運動中用平均速度推導(dǎo)位移公式，也是非常有效的一樣，便于理解.

人民教育出版社編著的全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）物理第一冊第31頁：

根據(jù)第四節(jié)的平均速度的定義，我們可以知道，做變速運動的物體在時間t內(nèi)的位移s等于物體在這段時間內(nèi)的平均速度和時間t乘積，即s=t.由于勻變速直線運動的速度是均勻變化的，它在時間t內(nèi)的平均速度，就等于時間內(nèi)的初速度v和末速度v的平均值，即=

把上式代入s=t中，得到s=t=t，其中v=v+at，代入后得到

s=vt+at

這就是勻變速直線運動的位移公式.

事實上，以上兩種平均公式，均是積分的結(jié)果：

（r）=？蘩F（r）dr=-？蘩Gdr=-G

=？蘩=？蘩（v+at）=（vt+at）=v+at=（v+v）

3.惠斯通電橋測電阻

惠斯通電橋是用比較法測量電阻的一種儀器，它是通過被測電阻與標準電阻進行比較而獲得測量結(jié)果的，圖2就是它的原理電路.待測電阻R與其他三個電阻R、R、R分別組成電橋的四個臂，在A、B兩點間連接直流電源E，在C、D點間跨接靈敏檢流計G，由于G好像搭接在ACB和ADB兩條并聯(lián)支路間的“橋”，故通常稱為電橋.適當調(diào)節(jié)一個或幾個橋臂的電阻值，就可以改變各橋臂電流的大小，使C、D兩點間的電勢相等，從而使通過檢流計中的電流為零.這種情況稱為“電橋平衡”.

圖2 惠斯通電橋原理電路圖

電橋平衡時，C、D兩點的電勢相等.根據(jù)電路知識可知

U=U（1）

U=U（2）

由U=U，整理化簡后得到

=（3）

或

R=R（4）

式（3）或式（4）稱為電橋的平衡條件，當滿足此關(guān)系時電橋即能平衡I=0，同時若電橋平衡了，則一定有此關(guān)系.

當橋臂R與R交換時（注意：此時要保持R與R兩電阻的示值不能動），調(diào)節(jié)比較電阻R，當該臂電阻為R′時，電橋重新平衡，由式（4）得到

R=R′（5）

再由（4）與（5），取兩次測量的結(jié)果的幾何平均值可得：

R=（6）

上述采用交換法，實際上是用幾何平均數(shù)減小系統(tǒng)誤差，提高測量值的精確度，下面作分析：

由組成橋臂各電阻的基本誤差引起的誤差.對于（4）式，根據(jù)誤差傳遞原則得

=++（7）

由檢流計的靈敏度所引起的誤差.根據(jù)電橋靈敏度的定義（它被定義為當電橋達到平衡后，任一臂的電阻（如R）產(chǎn)生單位相對變化時，所引起檢流計指針的偏轉(zhuǎn)分度值Δn，用S表示），由于檢流計靈敏度不夠高引起的誤差為

=（8）

式中Δn是能從檢流計上觀察到的最小偏轉(zhuǎn)格數(shù)，一般取0.1～0.3格.

待測電阻R的測量誤差可估計為

=+++（9）

對于（6）式，待測電阻的測量誤差變?yōu)?/p>

=+（10）

如果R選擇精確度較高的標準電阻箱，這樣系統(tǒng)誤差就可以較小.顯然采用交換法可以提高測量值的精確度.

參考文獻：

[1]程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理講座.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002.

[2]呂斯驊.全國中學(xué)生物理競賽實驗指導(dǎo)書.北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[3]人民教育出版社物理室.全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）物理第一冊.北京：人民教育出版社，2004.