類比聯想在解圓錐曲線問題時的妙用

摘 要： 從高考發展趨勢看，高考越來越重視對學生分析問題、解決問題能力的考查.考題題型多變，令很多考生感到十分頭疼，因此本文全面地分析了類比聯想及其解題方法.因此，在高中數學的學習過程中，要求學生在學習中需要掌握一定的數學思想方法，才能保證在遇到問題時，不是急于求解，而是根據問題提供的信息回憶所學知識，選擇最佳方案加以解決，從而避免“瞎撞、亂撞”的不良解題習慣.解決圓錐曲線問題更是如此，圓錐曲線的問題運算量大，求解過程復雜，如能正確、恰當、靈活地應用類比聯想的思想來解圓錐曲線問題，往往會給解題帶來意想不到的方便，使問題化繁為簡，提高正確率，達到事半功倍的效果.

關鍵詞： 類比聯想 數學思想方法 圓錐曲線問題

學生在數學學習過程中，需要掌握一些數學思想方法，才能確保在解題過程中游刃有余，其中類比聯想的思想就是一種有效的方法.美籍匈牙利數學家波利亞給出的解題表，其核心的內容是：（1）你能否一眼看出結果？（2）是否見過形式上稍有不同的題目？？（3）你是否知道與此有關的題目，是否知道用得上的定義、定理、公式？（4）有一個與你現在的題目有關且你已解過的題目，你能利用它嗎？（5）已知條件①②③……是否可以轉化？是否可以建立一個等式或不等關系？（6）你能否引入輔助元素？（7）如果你不能解這個題，可先解一個有關的題，你能否想出一個較易下手的，較一般的，特殊的，類似的題？從這7個方面說明了類比聯想能力在解題中的妙用.

類比聯想的內涵是什么？

類比是在比較的基礎上，根據兩個或兩類對象在某些方面相似或相同的地方，推論它們在其他方面有相似或相同，把其中某一對象的有關知識或結論遷移到另一對象的思維方法，又稱類比推理.類比推理具有以下顯著特點：

第一，在思維形式上，類比推理是從個別到個別、從特殊到特殊的推理.

第二，在應用上，類比推理具有廣泛性.

第三，在條件與結論的關系上，類比推理的結論受前提的制約程度較低.

總之，類比推理是人們經常應用的一種推理方法，在認識和改造世界的過程中，它可以啟發思想、開闊視野，起到由此及彼、由表及里，舉一反三、觸類旁通的作用.擅長運用類比推理不僅可以培養開發一個人的創造性思維能力，而且是人們認識事物、解決問題的重要手段之一.

高中數學中有許多知識是相近或相似的，教師在授課過程中應該抓住這些特點，讓學生積極踴躍地展開討論和探究，引導學生進行比較，找出兩類對象之間可以確切表述的相似性。然后，再用一類對象的性質去推測另一類對象的性質，探求異同的根源和規律，培養學生的聯想能力，為知識的靈活運用打下堅實的基礎.這樣讓學生在復習舊知識的基礎上，通過類比、聯想來學習新知識，讓學生感受到數學知識并非高不可攀，在傳授知識的同時又教給學生一種學習的方法.

一、比較相似概念進行類比聯想，從而簡單解決問題

例1：動點P到定點F（1，0）的距離比到直線l∶x=-2的距離小1，求動點P的軌跡方程.

分析：由題意可知，P到定點F（1，0）的距離與它到直線x=-1的距離相等，故P點的軌跡是以點F（1，0）為焦點，直線x=-1為準線的拋物線.

分析：有些同學碰到此題，一看直線AB過橢圓的焦點，就想到設直線的斜率為k，從而直線AB的方程為y=k（x+c），然后聯立橢圓與直線方程，找出A，B兩點坐標的關系，再解決問題，這樣計算量太大，又容易出錯.我們看看用定義怎樣來解此題.

歸納：此題聯想類比圓錐曲線的統一定義，并借助圖形，既簡單明了，又容易理解，解題得心應手.

在數學解題過程中，當思維遇到障礙時，往往能實現知識的遷移，將已學過的知識（如例1）或已掌握的解題方法（如例3）遷移過來，就有“柳暗花明又一村”的感覺了.

當然，類比在解析幾何的實際應用中還有很多，例如新課學習焦半徑，焦點弦的應用，等等，都可以通過類比進行學習；通過類比，學生可以對所學知識形成一個完整體系，前后知識融會貫通后就能做到舉一反三了.

研究數學的方法和手段越來越多，但類比仍然是我們學習數學的一種重要手段.在強調素質教育的今天，類比的方法應該得到進一步加強.在學習中，通過不斷地總結，學生的思維就會上一個臺階.

參考文獻：

[1]袁本雯.數學教學中應注意培養的幾種邏輯思維能力.吉林廣播電視大學學報，2000（4）.

[2]朱鈞祥.培養學生聯想能力的探索與實踐——類比的思維方法的運用，2006，3.