二次函數綜合題之解題策略

摘 要： 二次函數綜合題難度大、綜合性強、內涵豐富、涉及的知識面廣，是初中數學中最重要、最核心、縱向和橫向聯系規模最大的內容之一.要解決好此類題目需要有扎實的基礎知識，較強的分析、演算、理解能力，因此是近年來各地中考命題的重點和熱點，引起人們的廣泛關注.它主要以壓軸題的形式出現，本文列舉幾例，探究二次函數綜合題的解題策略.

關鍵詞： 二次函數 綜合題 解題策略

二次函數綜合題難度大、綜合性強、內涵豐富、涉及的知識面廣，是初中數學中最重要、最核心、縱向和橫向聯系規模最大的內容之一.要解決好此類題目需要有扎實的基礎知識，較強的分析、演算、理解能力，因此是近年來各地中考命題的重點和熱點，引起人們的關注.它主要以壓軸題的形式出現.那么如何正確求解呢？下面從三個方面闡述其解題策略.

一、利用數形結合思想求解策略

利用二次函數圖像求極值問題，是近幾年各地數學中考試卷中很常見的題型，此類題綜合性比較強，涉及的知識較廣，可以結合幾何圖形來解題，實際上二次函數圖像本身就是一個圖形即拋物線，圖像上點的坐標就表示相關線段的長度，點點相連成了幾何圖形，實現從“數或式”到“形”的轉化，這一轉化為解題創造了有利條件，而能否熟練地解答，則取決于是否把二者有機結合起來，在解題中充分運用函數與方程、數形結合、分類討論等思想方法.教師要適當引導學生，使他們消除學習定勢對解題思路的阻礙，培養他們利用數形結合解題的技巧和能力.

例1：已知函數y=x+bx+2的圖像經過點（3，2）.

（l）求這個函數的關系式；（2）畫出它的圖像；（3）根據圖像指出：當x取何值時，y≥2？

分析：（1）利用待定系數法，可以求出b的值，從而獲得函數表達式；（2）根據函數關系式畫出函數圖像；（3）借助函數圖像，由“形”想“數”，要“確定y=2時，x的取值范圍“就是要求位于“直線y=2上方”圖像的自變量取值范圍.

解：（1）根據題意，得2=9+3b+2，解得b=-3.所以函數關系式為y=x-3x+2.

（2）易求該拋物線與x軸的兩個交點坐標為（1，0），（2，0），與y軸的交點坐標為（0，2），對稱軸為x=.函數y=x-3x+2的圖像如圖1所示.

圖1

（3）根據圖像可得，當y=2時，對應的x值為0和3.因此，當x≤0或x≥3時，y≥2.

二、利用方程思想求解策略

二次函數圖像與x軸分別有兩個交點、一個交點和無交點時，該函數所對應的一元二次方程根的判別式分別是：△>0，△=0和△<0.要判定△的值的情況，往往要將函數y=ax+bx+c（a≠0）右邊配方成完全平方式去確定交點個數.由此可見兩者關系非常“密切”.在思路上要分清：方程與△值，函數與x軸交點，△值與x軸交點之間的關系.而當二次函數y=ax+bx+c（≠0）中y=0時，二次函數就轉化為一元二次方程ax+bx+c=0，根據一元二次方程根與系數關系可以求出二次函數與x軸兩個交點間的距離.

例2：如圖2，一元二次方程x-3x+2=0的兩根x、x（x

（1）求此二次函數的解析式；

（2）設此拋物線的頂點為P，對稱軸與線段AC相交于點Q，求點P和Q的坐標；

（3）在x軸上有一動點M，當MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標.

分析：（1）求出方程的兩個根，就相當于知道了B，C兩點的坐標，進而由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法，很容易求出二次函數的解析式；（2）要求交點Q的坐標，只要將該拋物線的“對稱軸方程”與“直線AC的解析式”聯立得方程組，解這個方程組就可得到；（3）要求“MQ+MA”的最小值時，只需作點A關于x軸的對稱點即可，用對稱性及“兩點之間線段最短”的幾何知識加以解決.

圖2

解：（1）解方程x-3x+2=0，得x=-3， x=1.所以拋物線與x軸的兩個交點坐標為C（-3，0），B（1 ，0）.

將A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入拋物線的解析式，求得a=，b=1，c=-.所以拋物線解析式為y=x+x-.

（2）由y=x+x-y=（x+1）-2，得拋物線頂點P的坐標為（-1，-2），對稱軸為直線x=-1.設直線AC的函數關系式為y=3k+b， 將A（3，6）、C（-3，0）代入，求得k=1，b=3，所以直線AC的函數關系式為y=x+3.而Q點是拋物線的對稱軸與直線AC的交點其方程為x=1，兩方程聯立方程組，解得x=-1，y=2，所以點Q坐標為（-1，2）.

（3）作A點關于x軸的對稱點A′（3，-6），連接A′Q，A′Q與x軸交點M即為所求的點.

設直線A′Q的函數關系式為y=kx+b.把A′（3，-6）、Q（-1，2）代入求解，得b=0，k=-2.所以直線A′Q的函數關系式為y=-2x.令x=0，則y=0，所以點M的坐標為（0，0）.

評析：求兩個函數圖像的交點問題，其實就是求兩個函數關系式聯立的方程組的解的問題.點與函數圖像的關系是，若點的坐標滿足函數關系式，則點在函數圖像上，反之也成立.本題中的第三問改為“若在y軸上有一動點N，當NO+NA取得最小值時，求N點的坐標”.

三、利用建模思想求解策略

對于有些簡單實際問題，可以利用二次函數進行求解.如有關最大利潤、用料最省、最低成本等問題又是生活中利用二次函數知識解決最常見、最有實際應用價值的問題之一.此類題型要求學生會運用面積法、勾股法、相似法、利潤法等建立函數模型，然后利用二次函數的性質解答.這樣可以培養學生從數學角度抽象分析問題和運用數學知識解決實際問題的能力.

例3：某商店經銷甲、乙兩種商品.甲、乙兩種商品的進貨單價之和是5元，甲商品零售單價比進貨單價多1元，乙商品零售單價比進貨單價的2倍少1元.按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件，共付了19元.問：

（1）甲、乙兩種商品的進貨單價各多少元？

（2）該商店平均每天賣出甲商品500件和乙商品300件.經調查發現，甲、乙兩種商品零售單價分別每降0.1元，這兩種商品每天可各多銷售100件.為了每天獲取更大的利潤，商店決定把甲、乙兩種商品的零售單價都下降m元.在不考慮其他因素的條件下，當m定為多少時，才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤最大？每天的最大利潤是多少？

分析：（l）據題意設出未知數，列方程組求解；（2）根據利潤=甲、乙兩種商品每件的利潤×銷售數量，轉化為二次函數并配方，根據圖像性質求得最大利潤.

解：（1）設甲商品的進貨單價是x元，乙商品的進貨單價是y元.根據題意知x+y=5和3（x+1）+2（2y-1）=19x，兩方程組成方程組求得x=2，y=3.

答：甲商品的進貨單價是2元，乙商品的進貨單價是3元.

（2）設商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤為w元，則

w=（1-m） （500+100×）+（5-3-m） （300+100×），

即w=-2000m +2200m+1100=-2000（m-0.55）+1705.

當m=0.55時，w有最大值，最大值為1705.

答：當m值為0.55時，才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤最大，每天的最大利潤是1705元.

綜上所述，解答二次函數綜合題，總的來講要冷靜分析，縝密思考，耐心梳理，吃透題意，運用二次函數有關性質，同時要善于據題意采取有關數學思想：如方程的思想、數形結合思想、建模思想等，確定解題策略，并正確求解.

參考文獻：

[1]王賽英.新課程理念下中考“壓軸題”的解題思路「J].數學通報，2005（02）.

[2]董玉成.我國當代中學函數教育特征研究[D].華東師范大學，2007.

[3]李如錦.中考數學壓軸題解法指導（一）[J].中學生理科月刊，2000（Z1）.