高中數(shù)學(xué)幾何模型的應(yīng)用

摘 要： 幾何模型是數(shù)學(xué)建模的重要工具，它是針對(duì)具體實(shí)物建立起來(lái)的，即可在生活中找到原型，其目的是為了解決實(shí)際問(wèn)題.合理使用幾何模型將使原本復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有事半功倍的作用.它的應(yīng)用非常廣泛，本文從平面幾何、立體幾何、解析幾何三個(gè)方面入手，分析如何建立幾何模型，并通過(guò)例題闡述幾何模型所涉及的若干數(shù)學(xué)思想.

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)建模 幾何模型 數(shù)形結(jié)合

在豐富多彩、變化萬(wàn)千的世界里，人們經(jīng)常創(chuàng)建出現(xiàn)實(shí)物體的近似結(jié)構(gòu)，作為原型的替代物，并稱(chēng)之為模型.而數(shù)學(xué)模型則是由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式、圖形或算法.但建立數(shù)學(xué)模型并非以模型為目標(biāo)，而是為了解決實(shí)際問(wèn)題.

在生產(chǎn)和生活中的空間物體的結(jié)構(gòu)是極其復(fù)雜的，要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型問(wèn)題，首先要對(duì)空間物體進(jìn)行簡(jiǎn)化和假設(shè)，并把空間圖形“抽象”出來(lái).如一座山，不看其表面的山棱巖石，而將其“輪廓”抽象出來(lái)，其“輪廓”就是錐體.其次要善于歸類(lèi)，一個(gè)幾何問(wèn)題，往往可以從不同的角度加以研究，從學(xué)科的角度出發(fā)，就可分為平面幾何、立體幾何、解析幾何.所以幾何模型的應(yīng)用是很廣泛的，地位是舉足輕重的.下面我就從平面幾何、立體幾何、解析幾何三個(gè)方面介紹幾何模型的具體應(yīng)用.

一、平面幾何數(shù)學(xué)模型

利用數(shù)與形的相互依賴(lài)和相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系發(fā)掘平面幾何圖形的形象、直觀、具體等特性，以及圖形的優(yōu)美性質(zhì)，是我們借助平面幾何模型處理代數(shù)、三角、平面幾何等問(wèn)題的關(guān)鍵.

例1：運(yùn)用直觀幾何能幫助理解、解決有關(guān)代數(shù)的問(wèn)題，利用具體操作說(shuō)明與變量有關(guān)的代數(shù)概念.

思考：畫(huà)一個(gè)正方形，在這個(gè)正方形底邊上的某處做一個(gè)記號(hào)把底邊分成兩段，左邊的一段記為a，右邊一段記為b，類(lèi)似地分正方形其他各邊，如圖所示.問(wèn)：下邊的哪些性質(zhì)可用圖表現(xiàn)出來(lái)？這里a，b都是正數(shù)，且a>b.

（1）（a-b）（a-b）

（2）（a-b）（a+b）

（3）（a+b）（a+b）

（4）（a+b） （你將需要想象一個(gè)三維物體）

分析：考慮計(jì)算這個(gè)正方形面積的各種方法，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為（a+b）時(shí)，面積為（a+b）（a+b）.它是由面積為a和b的兩個(gè)小正方形和面積為ab的兩個(gè)長(zhǎng)方形組成，即（a+b）（a+b）=a+b+2ab.

由此可見(jiàn)，（a+b）表示棱長(zhǎng)為（a+b）的正方體的體積，等于底面積乘以高，即（a+b）=（a+b+2ab）（a+b）=a+b+3ab+3ab.

圖中陰影為邊長(zhǎng)（a-b）的正方形，其面積為（a-b）（a-b），它是由面積為a的正方形減去兩個(gè)面積為（a-b）b和一個(gè)面積為b的小正方形，即（a-b）（a-b）=a-2b（a-b）-b=a+b-2ab.

而（a-b）（a+b）表示的面積是由陰影部分的正方形面積與兩個(gè)面積為（a-b）b的小長(zhǎng)方形的和，即（a-b）（a+b）=（a+b-2ab）+2b（a-b）=a-b.

二、立體幾何數(shù)學(xué)模型

同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往可以從實(shí)際生活中獲取相類(lèi)似的原型，并且可以化歸為相同模型去解決.在研究此問(wèn)題之前，我們先做下面的實(shí)驗(yàn)：用兩張相等的長(zhǎng)方形紙張，分別沿長(zhǎng)邊和短邊卷成圓柱體，用膠布將接頭不重疊粘住，分別計(jì)算出圓柱體的側(cè)面積.可以很快得出：S=S.

判斷兩圓柱體體積的大小，并計(jì)算出來(lái).通過(guò)實(shí)驗(yàn)，我們可以得到一個(gè)結(jié)論：側(cè)面積相同的兩個(gè)圓柱體，其體積不一定相同.

由此，我們可聯(lián)想到各種圓柱體形狀的罐裝飲料，這些飲料年產(chǎn)量高達(dá)幾百萬(wàn)罐，甚至更多.那么考慮在相同的工藝條件和保證質(zhì)量的前提下怎樣節(jié)省用料的問(wèn)題，從而降低生產(chǎn)成本.

例2：怎樣使飲料罐制造用材最省.

分析：把飲料罐假設(shè)為正圓柱體，雖然有很多的飲料罐不是這樣的，這樣的假設(shè)是合理、近似的簡(jiǎn)化.設(shè)飲料罐的體積V，高為h，底面半徑為r，制罐鋁材厚度為b，在諸多因素中，暫時(shí)不考慮制造工藝中要求的折邊長(zhǎng)度.

解：因?yàn)槊抗揎嬃系捏w積是一樣的，所以可以把V看成一個(gè)常數(shù)，有V=πrh.

又由于易拉罐上底的強(qiáng)度大一些，厚度是其他部分厚度的3倍，因而制罐用材的總面積為S=3πrb+πrb+2πrhb=（4πr+2πrh）b.

故飲料罐的總面積就只與h，r有關(guān)，把h=代入S，得S=S（r）=2πb（2r+）.

則用料最省的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求半徑r使得S（r）達(dá)到最小的問(wèn)題，通過(guò)計(jì)算得出飲料罐高h(yuǎn)為半徑r的4倍.

事實(shí)上，當(dāng)我們拿可口可樂(lè)、百事可樂(lè)罐測(cè)量時(shí)，圓柱體的高與底面半徑的比幾乎與上述結(jié)果一致.

三、解析幾何數(shù)學(xué)模型

平面解析幾何模型主要包括了曲線系模型，如雙曲線、拋物線、橢圓等各種曲線的應(yīng)用模型.

例3：在相距為10a（其中a為聲速）的A、B兩處觀察所中聽(tīng)到同一爆炸聲的時(shí)間差為6秒，且記錄顯示了B處的聲強(qiáng)是A處的4倍（聲強(qiáng)與距離的平方成反比），試確定爆炸點(diǎn)到兩觀察所的中點(diǎn)的距離.

分析：如圖，以AB的連線為x軸，AB間的中點(diǎn)為原點(diǎn)O作直角坐標(biāo)系，從爆炸點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離差值可以把它抽象為雙曲線解析幾何模型.

解：假設(shè)爆炸點(diǎn)為P，由題意有

||PA|-|PB||=6a，|AB|=10a，

|PA|=4|PB|，即|PA|=2|PB|，

則雙曲線的模型為-=1且爆炸點(diǎn)P在雙曲線上.

綜合以上條件，解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為a，a.

故爆炸點(diǎn)P到兩觀察所AB的中點(diǎn)O的距離|PO|=.

換一個(gè)角度思考，當(dāng)我們把兩個(gè)觀察所A、B和爆炸點(diǎn)P連線成為一個(gè)三角形，此問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為三角模型問(wèn)題.

在中學(xué)里學(xué)習(xí)與建立幾何模型，涉及許多的數(shù)學(xué)思想，綜合上面的例子，現(xiàn)總結(jié)出若干要點(diǎn)如下。

1.一個(gè)幾何問(wèn)題可以是純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可以是現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，總可以從現(xiàn)實(shí)世界中找到問(wèn)題的原型.如例2，在定體積的條件下，求解空間物體最小的總面積.只有把生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，體現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)，才能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.由于幾何問(wèn)題的復(fù)雜性，解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題可以有各種不同的角度，如例3，用解析幾何模型求距離的問(wèn)題在某種情形下也可轉(zhuǎn)化為三角模型問(wèn)題.

3.從橫向的觀點(diǎn)看，幾何問(wèn)題與其他的數(shù)學(xué)知識(shí)是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的.一個(gè)幾何模型，可以用方程、不等式、函數(shù)等知識(shí)來(lái)解決；相對(duì)的，一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題也可以通過(guò)建立幾何模型來(lái)表示，如例1用圖形面積表示代數(shù)式.

4.數(shù)形結(jié)合的思想是幾何模型的最大的特色，建立幾何模型正是對(duì)空間物體的抽象概括，用圖形代替實(shí)物結(jié)構(gòu)，把實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化.上述各例都是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化與結(jié)合.