例說函數思想的數學價值

中學數學教學中，函數是一種重要的思想方法，很多問題包含著這一思想，但常常被忽視。有些問題如能根據問題的形式，構造出相應的函數，然后運用函數的某些性質來解答問題，學生會感到很新奇。如果我們能夠在教學中加以恰當運用，便會體現出它的教學價值——對提高學生的思維能力很有益處。

一、由結構考慮建立函數模型，鍛煉思維的深刻性

例1：已知a、b、m∈R+且a

觀察兩邊結構，右邊是左邊當m=0時的情況。因此，我們考察函數f（x）= = =1+ （x≥0）. m>0時，有f （m）>f （0），即 > ，這是高二數學課本的例題。對比書上給出的證明（作差通分），學生會認識到這是函數單調性的問題。

例2：證明 + < + .

這是作為分析法應用的典型例子，易于學生掌握這種方法的特點和步驟。當然，我們可以啟發學生展開思維，對原式進行移項來代替平方變形，只需證： - < - ，分子有理化后得： < ，因為兩邊都是正數，故只需證： + > + ，而此式顯然成立。

上述解法應用了分子有理化技巧，這是處理帶有根號問題常用的辦法，也可以作為證明此類不等式的一種模式考慮。但這種證法的思維仍表現為簡單的變形和技巧的應用，課本上多次出現這種不等式。

① - < - 、② - < - 、③ - < - . 可以引導學生，觀察它們的結構特點：結構相同且呈現一種單調遞減性。由例1的啟示，可判斷此類不等式是一種減函數單調性的反映。設f（x）= = - （x>1），將分子有理化，得f（x）= （x>1）. 這顯然是減函數。至此，發現了這類不等式的本質。它實際上被函數f（x）= 的單調性所決定。

學習數學的目的，是對事物進行抽象分析，揭示更普遍、更深刻的規律。經常進行類似思維訓練，有利于培養學生思維深刻性。

二、構造常見函數，培養思維的靈活性

中學階段常見一次函數和二次函數。有些問題在沒有明顯的結構特征時，可以考慮這兩種函數。

例1：試證明：a、b、m∈R，|a|<1 ，|b|<1 ，|c|<1，則ab+ac+bc+1>1.

分析：由于題設與結論都是一次式，所以考慮構造一次函數。證明：設f（x）=b+cx+bc+1，x∈（-1，1）x. 當b+c=0時，原不等式變為左=bc+1，∵|b|<1、|c|<1，∴|bc|<1，∴bc+1>0. 當b+c≠0時，由一次函數的單調性，考察：f（1）=b+c+bc+1=（1+b）（1+c）>0，f（-1）=-b-c+bc+1=（1-b）（1-c）>0，∴任意a∈（-1，1）有f（a）>0，即ab+ac+bc+1>1. 點評：建立函數后，要想到與題目有關的函數的性質及應用。

例2：設A、B、C為三角形內角，x，、y，、z為任意實數，求證：x2+y2+z2≥2yzcosA+2xzcos+2xycosC.

證明：設f（x）=x2-2x（zcosB+ycosC）+y2+z2-2yzcosA，△=4（zcosB+

ycosC）2-4（y2+z2-2yzcosA）=4（z2cos2B+y2cos2C+2yzcosBcosC-y2-z2+2yzcosA）=4[-Z2sin2B-y2sin2C+2yzcosBcosC-cos（B+C）]=-4（Z2sin2B+y2sin2C-

2yzsinBsinC）=-4（ZsinB-ysinC）2≤0，∵f（x）的二次項函數為1，且△≤0，∴f（x）≥0恒成立，故原不等式成立。點評：這道題使學生能進一步體會到掌握這種思維方法的必要性，同時也強化了學生注意知識間相互聯系的意識。

由上述例子可以看出，運用函數思想不僅使問題易于解決，更重要的是有利于培養學生的思維品質，領悟數學思想和方法，認識知識間的聯系，體會數學是客觀世界的形式和結構的本質反映。