加強換元法的應用培養學生創新思維

摘 要：中學數學是從算術過渡到代數知識、幾何知識的重要階段，涉及內容多、定理多、概念雜。理清數學概念是學好數學的關鍵和基礎，鉆研透一種概念及解法，并加以延伸、理解和實際運用是提高數學能力的重要前提。而加強換元法的應用，可以提高學生的解題能力、培養學生創新思維。

關鍵詞：換元法；數學；教學；應用

新課程標準指出“改變觀念，解放思想”是改革課堂教學的思想基礎。同樣，數學問題的解決主要得力于思維方法的選擇，比方說，如果把一些數學問題稍作變化，同學們就感到束手無策。這種現象的產生，其實是學生對數學思維方法的缺乏。眾所周知，在數學中，一種研究對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的思維方法稱之為轉化思想。轉化可以是“未知向已知的轉化”“數與形的轉化”“復雜性向簡單性的轉化”“特殊性向一般性的轉化”等等。在這眾多的轉化思想中，“換元法”是一種具有代表性的科學轉化思想。“換元法”的基本思想就是用新的變量（元）替換原來的變量（元），通過換元可以把復雜的命題化為簡單的命題，把未知轉化為已知，從而拓寬思路，化難為易。瀏覽義務教育七——學段數學教材，“換元法”的滲透以及“換元法”思想的應用無不貫穿于其中，顯示了其獨特的魅力。其實，“換元法”思想方法的形成和培養，不是一蹴而就的，它需要一個循序漸進的過程，大致體現在以下幾個方面。

一、開始階段

具體體現在七年級上冊教材中，列代數式“用字母表示數”和“求代數式的值”，以及“用數替換字母”的問題，實際上就是換元意識的初步體現。

例1：（列代數式）兩數和的平方與這兩數平方和

的差。

解：設這兩數分別為x、y，得（x+y）2-（x2+y2）。

例2：若代數式2y2+3y+7的值為2，那么，代數式4y2+6y-9的值應該是（ ）：A.1、B.-19、C.-9、D.9.

解：由2y2+3y+7=2，得：2y2+3y=2-7=-5，兩邊都乘2，得：4y2+6y=-10，兩邊都減去9，得：4y2+6y-9=-19，故選B。

二、發展階段

具體體現在七年級下冊和八年級教材中，用代入法解二元（或三元）一次方程組和乘法公式的靈活運用以及一些特殊分解因式的方法，這些內容實際就是換元思想的成長時期。

例3：x/4=y/5=z/6 ①2x+3y-4z=-3 ②

解：設x/4=y/5=2/6=k，則x=4k，y=5k，z=6k ③，把③式代入②式，得：k=3，∴x=12，y=15，z=18。∴原方程組的解為x=12，y=15，z=18.

例4：已知：（x+1）/x=3，求x2+1/x2的值。

解：由公式a2+2ab+b2=（a+b）2，得：a2+b2=（a+b）2-2ab，所以，x2+1/x2= （x+1/x）2-2=7.

例5：分解因式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-24.

解：（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）-24=[（x+1）（x+4）] [（x+2）（x+3）]-24=[x2+5x+6]-24。設x2+5x+5=y，則：原式=（y-1）（y+1）-24=y2-1-24=y2-25=（y+5）（y-5）= （x2+5x+10） （x2+5x）=x（x+5） （x2+5x+10）.

三、成熟階段

具體體現在九年級教材中，用換元法解可化為一元一次方程的分式方程和無理方程組的問題，這實際就是換元意識的靈活運用時期。

例6：解分式方程（x2+5）/（x+1）+ （x+1）/ （x2+5）=10/3.

解：設（x2+5）/（x+1）=y，則原式可化為（y+1）/y=10/3，去分母，整理后，得：3y2-10y+3=0，解得：y2=1/3. 當y1=3時，（x2+5）/（x+1）=3，即有x2-3x+2=0，∴x1=1，x2=2；當y2=1/3時，（x2+5））/（x+1）=1/3，即有3x2-x+14=0，∵△<0，∴無解。

例7：解無理方程： 2x2-6x -5=0.

解：設 =y，則x2-3x-1=y2，故原方程可化為y2-5y-3=0，解得：y1=-1/2，y2=3。當y1=-1/2時， = -1/2，無解；當y2=3時， = 3，∴ x2-3x-1=9，即x2-3x-10=0。解得：x1=-2，x2=5。經檢驗，x1=-2，x2=5是原方程的解。

四、升華階段

具體體現在運用換元法解各類數學競賽題，這實際就是換元思想的特殊功能。

例8： 求 的值.

解：設1111……（n個）=x，則原式 = = = =3333……（n個）.

通過以上事例可以知道，用“換元法”解數學問題可以改進解題過程，能使不少用常規思維不易解決的問題，找到“漂亮”的解法，起到了事半功倍的效果。所以，我們在平時的數學教學中，應該特別重視數學思想的培養，以便觸類旁通。這樣，可以提高課堂教學效果，而且對提高學生的解題能力、培養創新思維有著重要意義。