數(shù)軸在不等式（組）中的重要作用

數(shù)軸形象地反映了數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，是數(shù)與形的統(tǒng)一，是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的橋梁。它不僅可以幫助學(xué)生直觀地理解有關(guān)抽象的數(shù)學(xué)概念，還可以運用它來解決許多數(shù)學(xué)問題。本文就數(shù)軸在不等式（組）中的重要作用，談一談自己的體會。

一、借助數(shù)軸理解不等式（組）的解集的概念

把不等式（組）的解集在數(shù)軸上熟練地表示出來，是教學(xué)不等式（組）的一個基本要求，也是一個必不可少的步驟。不僅可以讓學(xué)生直觀地感受到不等式（組）的解的個數(shù)的無限性，深刻理解不等式（組）“解集”的概念，也為求解一些涉及字母問題的不等式（組）做好鋪墊作用。

二、借助數(shù)軸，準確求解含字母系數(shù)的不等式組

例1：已知m為任意實數(shù)，求不等式組1-x<3x

分析：由不等式1-x<3化簡得x>2，先在數(shù)軸上表示，如圖（1）。接著，在上面的數(shù)軸上表示出解集x2，m>4時，該不等式組的解集為2

例2：已知m為任意實數(shù)，求不等式組x>2x<5x

分析：和例1相比較，該不等式組中不等式的個數(shù)增加到3個，需求出這3個不等式解集的公共部分，情況更為復(fù)雜，此時借助數(shù)軸更能起到化抽象為直觀的簡便作用。先在數(shù)軸上表示出第一、二兩個不等式解集的公共部分，如圖（2），再借助數(shù)軸可直觀地發(fā)現(xiàn)當表示數(shù)m-2的點在表示2的點上或左邊，即m-2≤2， m≤4時，三個不等式的解集沒有公共部分，原不等式組無解；當表示數(shù)m-2的點在2和5之間，即2

三、巧用數(shù)軸，求解不等式（組）中的待定字母值

根據(jù)條件，求解不等式（組）中的待定字母值是本章中的難點之一，大部分學(xué)生不易理解，容易出錯。若能巧借數(shù)軸，不僅能使該難點迎刃而解，也能讓學(xué)生體會到數(shù)軸的實用價值。下面舉例加以說明：

（1）根據(jù)不等式的解集求值。

例3：關(guān)于x的不等式組2x-1<3（x-1）x

分析：由不等式2x-1<3（x-1）化簡得x>2，先在數(shù)軸上表示，如下圖（1）。接著，在上面的數(shù)軸上表示出解集x

（2）根據(jù)不等式恒成立的條件求值。

例4：不等式x+2m≥m 對于x≥-2恒成立，求m的取值范圍。

分析：解答本題，須弄清題意，即不等式x+2m≥m對于x≥-2恒成立，說明不等式x+2m≥m解集包含 x≥-2的范圍。解：由x+2m≥m 得x≥-3m，又據(jù)題意知x≥-3m包含x≥-2，故可作如圖A所示數(shù)軸，易知-3m≤-2，即m≥ 。

（圖A） （圖B）

本題通過數(shù)軸，直觀地展示了不等式解集之間的包含關(guān)系，有助于順利求出待定字母的范圍。

（3）根據(jù)不等式（組）的整數(shù)解求值。

例5：如果關(guān)于x的不等式3x-m≤0的正整數(shù)解為1、2、3，求m的取值范圍。

分析：不等式3x-m≤0可化簡為x≤ ，它的正整數(shù)解為1、2、3，則 的范圍如圖B所示，可直觀地看出 >3，且 ≤4，故9

例6：關(guān)于x的不等式組x-m>01-x>0恰有4個整數(shù)解，求m的取值范圍。

分析：由不等式1-x>0可化簡為x<1，并在數(shù)軸上表示如下圖（1），再由不等式x-m>0化簡得x>m，若關(guān)于x的不等式組x-m>01-x>0恰有4個整數(shù)解，則m的范圍如下圖（2）所示：可直觀地看出m≥-4，且m<-3，即-4≤m<-3 。