勾股定理的逆定理應用探究

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）在課程“目標與內容”七學段～九學段中指出：“探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題。”勾股定理及其逆定理是初中數學中非常重要的定理，華羅庚把它稱為“茫茫宇宙星際交流的語言”，西方一些國家把它稱為“畢達哥拉斯定理”。勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形三邊的數量關系，體現了“數形統一”的數學思想。勾股定理和它的逆定理不但是解直角三角形的重要依據，而且是各省市中考必考的知識點，同時在實際生活中的應用也十分廣泛。這里我們不探索勾股定理的應用，只探索勾股定理的逆定理的應用。筆者在長期的初中數學教學中發現，有許多學生在涉及到判斷三角形的形狀、計算圖形的面積時，還是不知道應該如何利用勾股定理的逆定理來解決問題。由于勾股定理及其逆定理把直角三角形中有一個直角的“形”的特征，轉化為三邊之間的“數”的關系，也就是把幾何學與代數學有機地結合在一起了。因此，我們應用勾股定理的逆定理抽象出數學方程模型或者進行圖形的轉化是判斷三角形的形狀、計算圖形的面積問題的一種行之有效的方法。在應用勾股定理的逆定理解決問題的時候，一定要讓學生去思考、討論、交流甚至是探究，讓他們經歷解題的過程，最終樹立“數形結合”的數學思想和方法，正如《課標》所說：“它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。”下面，筆者就勾股定理的逆定理的應用談談自己的看法。

一、利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀

例1：已知在三角形中，a、b、c分別是它的三邊，并且a+b=10，ab=18，c=8，判斷三角形的形狀。

分析：由于題目中涉及兩邊之和與兩邊的積，所以先結合完全平方公式得出a2+b2的值，再檢驗a2+b2與c2的大小，就可以得出相應的結論。

所以，凡是給出三角形的三邊或者邊之間的關系判斷三角形的形狀，都應考慮應用勾股定理的逆定理來進行判斷。

變式訓練：如圖l所示，已知：在△ABC中，AB=13，BC=l0，BC邊上的中線AD=12。求證：△ABC是等腰三角形。

二、利用勾股定理的逆定理與勾股定理結合計算圖形的面積

例2：如圖2所示，已知在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD=12，CD=13。求四邊形ABCD的面積。

分析：由于這是不規則的四邊形，所以不能直接計算面積，可根據題目所給數據特征，聯想勾股數，先連接AC，轉化成兩個三角形的面積之差，并判斷兩個三角形的形狀，就可以實現四邊形向三角形轉化，得出相應的結論。所以，計算不規則的四邊形的面積，一般要通過構造直角三角形再利用三角形的面積的和或差進行計算。

變式訓練：如圖3所示，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

以上我們討論了利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀以及利用勾股定理的逆定理與勾股定理結合的方式計算圖形的面積的問題，利用這種方法應該說是一種比較簡捷、有效的方法。我們在引導學生利用勾股定理的逆定理解決實際問題時，一定要讓學生進行變式訓練，并進行一題多解、一題多練，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的。同時，我們還要注意發揮學生的主體作用，讓學生主動地去發現問題、探究問題進而解決問題，從而培養學生的思維能力和創新能力。《課標》指出：“教師要處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗。”讓學生掌握基本的數學知識和基本的數學技能不是最根本的目的，最根本的目的是通過數學學習，訓練學生的思維能力，提高他們的創新性和創造性。

在學習和應用勾股定理的逆定理過程中，我們可以結合“綜合與實踐”課給學生灌輸“生活數學”的思想。《課標》指出：“‘綜合與實踐’內容設置的目的在于培養學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。”我們要遵循《課標》的要求和教學理念，靈活地應用勾股定理的逆定理，把勾股定理的逆定理的應用同實際生活緊密地聯系在一起。我們要讓學生明白：數學知識來源于生活，但又要應用于生活。沒有生活就沒有數學知識，數學知識如果不應用于生活，也就失去了數學知識的價值。

總之，勾股定理的逆定理的應用是十分廣泛的。我們在引導學生應用勾股定理的逆定理時，一定要注意方式、方法，讓學生靈活地掌握和應用。

（江蘇省新沂市瓦窯中學）