談“應用題”“解決問題”與“數學建模”的關系

在當前小學數學教學中，我們大家也許面臨著這樣一個尷尬：在教學時不敢說應用題，怕它跟不上形勢而自己顯得落伍；也不敢說解決問題，怕它內涵過多而自己把握不了；更不敢說數學建模，怕它太深奧而自己沒那功底。事實上，這三者之間還是有著千絲萬縷的關系的。

把傳統的應用題改為當前《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）中的解決問題，當然不是一個簡單的更改名稱問題。《課標》編制組主要負責人之一孫曉天教授曾說過：“解決問題脫胎于應用題，但絕不同于應用題。”

在常人眼里看來，傳統的應用題教學似乎應該是與數學建模格格不入的，實際上，如果我們仔細閱讀《應用題的本質是數學建模》一文，就不難發現，“應用題的本質是數學建模”。

因此，無論是傳A統的應用題也好，還是現在《課標》提倡的解決問題也好，其實質歸根結底都是“數學建模”：“只有同時重視學生在解決問題中的思維跨度——完成兩個轉化，才能大面積有效地提高解決問題的能力”，才能真正實現《課標》中提出的“讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展”這個最根本的目的。

運用蘇教版教材初次教學速度時，本人意識到，這是小學生初次接觸速度這個概念，首次建構相關的數學模型。因此本人結合教師用書中的教材編寫的意圖、教學目標、教學建議，結合《課標》中關于數學課程的說明，結合多年的具體教學經驗，在具體教學時應非常明確地貫徹“解決問題的前提是理解概念，解決問題的關鍵是建構模型，解決問題的途徑是學會策略”的理念。

查找資料，精心準備。在初次進行速度教學時，本人特意事先布置學生了解、測量自己步行、跑步的速度（為方便起見，沒有采用時速，而是以一分鐘為例，畢竟分鐘也是一種單位時間），除此之外，還布置學生通過不同的渠道查找自己知道的一些交通工具的運行速度。這些由學生查找出來的交通工具的時速，都可作為本單元學習的資源。

創設情境，理解概念。具體教學時，可由學生熟悉的“比快慢”入手。在“比快慢”時，教師可有意識地引入學生現實生活中的例子，一組是路程相同時，比什么；一組是時間相同時，比什么。這樣一來，既可以比快慢，更重要的是，可以借助這兩組例子，引導學生明白，快慢（也即下文的速度）同路程、時間有密切的聯系。

在學生回答的基礎上，教師進行引導：路程相同時，比時間；時間相同時，比路程。也就是說，速度同路程、時間有關，確切地說：“物體在單位時間內通過的路程的多少，叫作速度。”

建構模型，解決問題。教師出示現實生活中的三個情境問題，分別同步行、騎自行車、開小汽車有關，分別要求學生在已知兩個量的情況下，學會求第三個量。在上述基礎上，引導學生刻畫速度、時間和路程三者關系的模型：速度×時間=路程。教學時，側重于將書本上的例題與學生生活中的實例有機結合起來，讓學生從自己熟悉的物體簡單運動的常識出發歸納出速度、時間和路程之間的關系，并用這個關系去解決實際問題。通過解決簡單行程問題，引導學生自主探索速度、時間和路程之間的關系，構建數學模型：速度×時間=路程。

行程問題在小學五六年級當中多次出現，并且呈現出越來越細、越來越深、越來越難的趨勢。因此，行程問題需要我們教師在教學時，除了大家公認的分析法和綜合法之外，還要引導學生學會一些常用的解決問題的具體策略：

（1）動手模擬。有這樣一種類型的行程問題應用題：假設一列自身長度為200米的火車運行速度為40米/秒，它通過長為3600米的隧道需要多少時間？

這一類題目，不少學生不仔細審題，馬上會想當然地認為是3600÷40=90（秒）。因此，在具體教學時，我往往是引導學生“模擬操作”——以書本作為隧道，橡皮作為火車，看看到底什么時候才算真正意義上的通過。只要這樣“模擬操作”，絕大部分學生就能夠恍然大悟，只有當火車車尾通過隧道，火車才算真正意義上的通過。

采取“模擬操作”的策略，有助于學生在親自動手的過程當中真正理解題意，了解有關路程這個變量的確切數值，從而有利于學生順利解題。

（2）學會畫圖。畫示意圖比起模擬操作已經抽象了一步，它等于是去掉了題目中的次要成分，抓住問題的主要成分，有利于學生更加清楚地思考問題，提煉題目中的數量關系。

（3）抓住關鍵。教師在教學行程問題時，應該引導學生學會抓住關鍵語句，進而有助于學生理解行程問題中牽涉到的時間、速度、路程三者之間的數量關系。還是以前面所述“火車過隧道”的例題為例，當學生出現錯誤時，教師同樣可以引導學生抓住有利于分析、解決問題的關鍵語句——“通過”一詞。真正理解了“通過”一詞的含義，才能夠明白題目當中的“路程”不僅僅是指隧道的長度3600米，而應該是隧道長度外加火車自身長度（3600+200=3800米）。只有這樣，才能夠正確解題。

（4）表演情境。小學生由于生活經驗以及閱歷、閱讀能力的缺乏，會出現一些理解上的困難。因此，我們教師在教學行程問題時，可以借鑒吳正憲老師執教“相遇問題”時所采用的形式——請一些學生上臺表演，引導全體學生真正理解“同時”“相遇”“相對”“相向”“追及”等詞語的確切含義，學生通過這種生動有趣的情境表演的形式，能夠抓住行程問題中牽涉到的時間、速度、路程三者之間準確的數量關系。

我們小學數學教師在教學時，應放慢腳步、延緩進度，留給學生足夠多的思考時間，引導學生自行摸索解題方法、策略，讓學生深刻體會模擬等各種方法、策略在解決問題過程中的作用，從而產生學習、應用這些解決問題方法、策略的內在驅動力。北宋詩人陸游在《冬夜讀書示子聿》所寫的“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，說的正是這個道理。