新課標下高中數學的概念課教學初探

摘 要：數學中的思維活動就是概念、判斷和推理，而判斷和推理的基礎就是概念；概念是思維的細胞，只有對概念理解透徹，才能掌握運算的技能和技巧，才會有合理快捷的邏輯論證。就如何搞好新課程下的數學概念課教學，下面提出，要揭示數學概念的演繹性，即通過公理或已知概念對新概念的約定；要揭示數學概念的發展性，要明白概念隨著推理發展，在不同問題的推理中對概念作出不同的表述，才能在應用中把握概念的本質，豐富概念的內涵，理解概念的用法；要揭示數學概念的嚴密性，要嚴格地講清這個概念的所有本質屬性，通過實際例子，尤其是典型性例子，強化學生對新概念嚴密性的認識；要善于靈活運用概念去解決問題，以提高思維能力，在教學中應通過實例加強該方面能力的培養和訓練。

關鍵詞：思維活動；概念；判斷；推理；演繹性；發展性；嚴密性；思維能力

《普通高中數學課程標準》指出：教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。數學中的思維活動就是概念、判斷和推理，而判斷和推理的基礎就是概念。概念是思維的細胞，只有對概念理解透徹，才能掌握運算的技能和技巧，才會有合理快捷的邏輯論證。在教學中，常發現部分學生數學概念模糊不清：（1）認為學數學只要會解題就行，不必花時間、精力去注意那些枯燥的概念；（2）認為只要能熟練背誦概念就行，并沒有深刻地去理解。結果運用起來似是而非，解答問題則錯誤百出。因此，上好數學概念課是使學生學好數學的首要一環。如何搞好新課程下的數學概念課教學？筆者結合教學實踐，談幾點看法。

一、揭示數學概念的演繹性

數學概念的演繹性主要指：概念的意義不是通過客體抽象、歸納，而是通過概念對概念的演繹來確定的，即通過公理或已知概念對新概念的約定。概念所指的對象還是概念。例如，立體幾何中的第一個基本概念——平面。它是通過一組公理來揭示其意義的，并未給出定義。對于平面的概念，教材中簡明寫道：“常見的桌面、黑板面、平靜的水面以及紙板等，都給我們以平面的形象。幾何里所說的平面就是從這樣一些物體抽象出來的。但是，幾何里的平面是無限延展的。”

事實上這一段話并不揭示幾何中平面概念的任何意義，幾何中的平面與上述種種“形象”毫不相干，我們由此并不能得出幾何中關于“平面”概念的任何意義。通過生活中形形色色“很平的形象”也抽象不出能夠用之于幾何中嚴密邏輯推理的平面概念。那么，平面概念的真諦何在呢？它的準確意義存在于三個公理和三個推論之中，或者說，平面是具有性質公理和推理的一種“對象”，“平面”這兩個字只是具有這種性質的“對象”的一個代名詞。因此，教師在教學中應該讓學生從三個公理中去領會平面的意義，即平面的確定（有且僅有一個）這一平面概念的核心。

例1.在四面體ABCD中，若有兩條高相交，則另外兩條高也必相交。

分析：意識到“兩條高相交”意味著過這兩條高有平面，這是解決該題的關鍵。

證明：設ABCD的兩條高AP、BQ交于H，則過AP、BQ必有平面，記作ABH，它與棱CD交于E。則CD⊥平面ABH（即ABE）。所以CD⊥AB。

在△ABC內作CF⊥AB于F，連結FD，則AB⊥平面FCD。

因為AB？奐平面ABC，AB？奐平面ABD，

所以ABC⊥FCD，平面ABD⊥平面FCD。

則過C和D的四面體ABCD的兩條高線必在平面FCD內，從而它們相交。

證明過程表明：在題設中的“兩條高相交”暗示我們過這兩條高“有平面”（即平面ABE），而要求證另外兩條高也相交，暗示我們去證明另外兩條高共面，從而啟發我們得到平面FCD。

這里用“平面”的概念去演繹“兩條相交直線”。

二、揭示數學概念的發展性

任何事物都是發展的，數學概念亦如此。概念隨著推理發展，在不同問題的推理中對概念作出不同的表述，這是概念發展的基本渠道。承認并接受這一點十分重要。只有這樣才能擺脫概念的僵化狀態，才能在應用中把握概念的本質，豐富概念的內涵，理解概念的用法。

如定義：“以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角”。在基本問題中，二面角的概念就是以定義的敘述方式來理解的，這在解題中常用。但在許多解題中用以下方法更為簡便：

例2.若一個平面垂直于二面角的棱，那么，這個平面與二面角兩個面的交線所夾的角就是二面角的平面角。

分析：設平面γ與二面角α-l-β棱交成∠ABC，

因為β⊥γ，所以l⊥AB，l⊥BC，

從而，∠ABC為α-l-β的二面角。

又如定義：一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列。

例如命題：（1）如果一個數列的通項an=an+b（a，b為常數，n∈N），那么這個數列叫等差數列。

（2）如果一個數列的前n項和Sn=an2+bn（a，b為常數，n∈N），那么這個數列叫等差數列。

可以證明以上兩個命題與等差數列的定義是等價的，所以，用它們來進行判斷也是等效的。

因此，在教學中，教師要揭示概念的發展性，從中發掘一些定義的概念的等價命題，這樣無疑能幫助學生迅速、準確地進行判斷和解題。

三、揭示數學概念的嚴密性

概念的嚴密性是概念的演繹性的必然結果，也是概念用于邏輯推理的要求。學生每接觸一個新概念，往往會疏忽了某一些本質，忽略了概念的嚴密性，從而導致不能很好地掌握這個新概念，教師在教學中，除嚴格地講清這個概念的所有本質屬性外，宜通過實際例子，尤其是典型性例子，強化學生對新概念嚴密性的認識。

如，在講授奇、偶函數的概念時，用f （-x）與f （x）的關系判斷函數的奇偶性，學生容易記住，但往往忽略了這個概念的前提條件：奇、偶函數的定義域必定是關于原點對稱的區域。透徹地說，就是沒有真正弄清概念中的任一實數x與-x均必須保證在其定義域中，這一嚴密的定義。所以，教師可適時地舉一些例子，如函數y=sinx，x∈（0，π）；y=-3x2，x∈（-5，5）等。

再如，講授“兩個平面互相垂直，過其中一個平面內作一直線垂直于這兩個平面的交線，則此直線必垂直于另一個平面”定理時，構造了一個命題：兩個平面互相垂直，過其中一個平面內一點作一直線垂直于這兩個平面的交線，則此直線必垂直于另一個平面，讓學生判斷其真假，不少粗心的學生立即回答是真命題，細心的學生就會推敲概念中“平面內作一直線”，變為“平面內一點作一直線”的區別，得出假命題的結論。如α⊥β，A∈β，α∩β=l，AC？奐β，AC⊥l于C點，過A點可作無數條直線垂直于交線l，但這些直線并非都垂直于α，而過A的直線中有且僅有直線AC垂直于平面。

因此，教師可通過緊扣概念嚴密性的例子來加深學生對概念的理解和掌握。

四、善于靈活運用概念去解決問題

任何一門學科都是由一系列的概念體系組成的，所以，概念既是最基礎的知識，又是最重要的知識。靈活運用概念去解決問題，提高思維能力，則是我們進行數學概念教學的目的。為此，在教學中應通過實例加強該方面能力的培養和訓練。

解題過程中應用了橢圓概念的定義，簡化了解題過程，取得了事半功倍的效果。

數學概念的演繹性和嚴密性揭示了數學概念特點及在概念的發展中必須嚴守概念的本質，而概念的發展又告訴我們：數學概念絕不能死背定義，必須結合解題進一步領會概念的各種表述形式，掌握反映概念本質的種種側面，真正使學生悟出隱藏在形式后面的概念的無限真諦。以上提到的幾個方面，應當在新授課、復習課、習題課等不同課型中根據需要而得到重視。

道可道，非常道；名可名，非常名。如果我們教師在施教的過程中，能抓住學生掌握知識的薄弱環節，采取相應對策，就能對提高課堂教學質量起到重要的作用。

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[4]曹才翰，章建躍.中學數學教學概論.北京師范大學出版社，2008-04.

（作者單位 福建省德化第一中學）