在追問中逼近數學的本質

問題是數學的心臟，也是數學發展的生長點。當人們面對未知世界時，常常會有這樣的困惑：是什么？為什么？有什么作用？這是人類認識世界的自然規律，也是學生學習新知的原始動力和興趣所在。因此，在教學過程中，我們要引導學生不斷地去追問與反思，讓他們在質疑、解惑，再質疑、再解惑的過程中，逼近數學的本質，從而使知識得到發展，智慧得到生長。

“認識比”是節概念教學課，在人教版、蘇教版以及北師大版的教材中，都安排了這樣的教學內容：在具體的情境中理解比的意義，了解比的各部分名稱，掌握比的讀法、寫法，能理解比與分數、除法的關系。教材介紹了“比是什么”、“怎樣用比”，然而它們都缺少了“為什么要學比”的內容。其實，比作為一種元認知，不管是從知識的生長規律來看，還是從學生的認知規律來看，我們都應將知識的萌發、生長、發展過程進行必要的呈現。只有當學生知道了知識的“由來”與“未來”時，他們才能深刻地理解知識的本質，才能感悟出其自身的價值。因此，在執教“認識比”時，筆者增加了這樣的一個教學環節——追問：“為什么要認識比？”以此來拓展教材、完善教材。為了讓學生更深刻地感悟到知識的本質，教師在“為什么要認識比？”的教學環節中，將這一追問逐步分解為了如下3個層次：

追問一：為什么要選擇比來表示這里的關系？

師：既然比與除法、分數有那么多的聯系，那么為什么還要學習比呢？下面就讓我們帶著這個疑問來繼續學習吧！

師：這是剛才的一杯糖水，它有10克糖，90克水。如果再加入37克咖啡粉，就成了一杯咖啡。現在你能表達出這三個數量之間的關系嗎？

生1：水的質量最多，糖的質量最少。

生2：糖的質量是水的1/9，是咖啡粉的10/37。

生3：糖∶咖啡粉∶水的質量比是10∶37∶90。

……

師：工地需配制一種混凝土，王師傅用1噸水，2噸水泥、3噸黃沙、5噸石子很快就配制好了。怎樣更簡潔地表示這種混凝土中四種量之間的關系呢？

生：水∶水泥∶黃沙∶石子的質量比是1∶2∶3∶5。

師：你為什么不用除法、分數來表示數量間的關系，反而會選擇比呢？

生1：用比表示數量間的關系可以更簡潔。

生2：對，特別是數量比較多的時候，用比來表示它們之間的關系更簡明、更方便。

在比較兩個數量的關系時，比與其他表示方式相比，其優點不夠明顯。為此，教者引入了三個數量、四個數量，在“怎樣更簡潔地表示這種混凝土中四種量之間的關系呢？”的追問中，學生們進行了比較、選擇與優化，他們體驗到了比的價值——表示數量間的關系更簡潔、更明了。

追問二：這里的兩種說法矛盾嗎？

師：同學們說的很有道理！大家看，前面我們在學習比的時候，知道了兩個數的比表示兩個數相除，這里提及的是兩個數之間量的關系，但這里（糖∶咖啡粉∶水的質量比是10∶37∶90，水∶水泥∶黃沙∶石子的質量比是1∶2∶3∶5）卻出現了三個、四個數量之間的關系，這種的說法矛盾嗎？（學生討論）

生：不矛盾。

師（啟發）：難道這里面也藏有兩個數量的比？

生1：這里面也有兩個數量的比，如水和水泥的質量比就是1∶2。

生2：水和黃沙的質量比是1∶3，水泥和石子的質量比是 2∶5，黃沙和石子的質量比是 3∶5……

生3：水和混凝土的總質量比是 1∶11。

……

師：大家觀察得真仔細！看來這里的說法與前面的說法并不矛盾。通過比較，我們不難發現，原來難以表述的復雜的關系，現在只用三個數的連比、四個數的連比就可以輕松地表達出來了。看來，用比表示它們之間的關系確實更簡潔、更明確、更方便啊！

為了突顯比的簡潔性，教者在上面的教學過程中引入了三個數量的比、四個數量的比，然而在比的意義的描述中，提及的僅僅只是兩個數量的比。這些說法中，數量的個數不一樣，會不會影響到學生對比的意義的理解呢？為了排除隱患，教師順勢設計了這樣的追問——“這里的說法矛盾嗎？”在教師的引領下，學生通過討論交流，一方面更加深刻地明晰了比的意義，另一方面也進一步地體驗到了比的價值。

追問三：除此以外，比的價值還有哪些呢？

師：除此以外，比的價值還有哪些呢？

（出示芭蕾舞演員踮腳的圖片。）

師：怎么樣？很美吧！你知道芭蕾舞演員表演時，為什么要踮起腳尖嗎？

生：我聽美術老師說過，這里面有黃金比呢！

師：你說的非常好，這里面確實藏有黃金比的知識，那到底什么是黃金比呢？下面我們一起來了解了解吧。

（出示課本中的“你知道嗎？”介紹黃金比。）

師：現在你知道芭蕾舞演員表演時為什么要踮起腳尖了吧！黃金比是美的化身，它在生活中有著廣泛的應用，下面我們一起來欣賞吧！（出示建筑、繪畫中的黃金比。）

師：瞧，比還“創造”了生活中的美！其實，比的價值還不止這些，大家看。（出示：比例尺、正反比例……）

表達方式的簡潔、明了是比的優點，但并不是比的全部價值。為此，教師通過追問——“除此以外，比的價值還有哪些呢？”以此來拓寬學生的視野：從用比表達的簡潔、明了到黃金比的美學價值，再到比例尺、正反比例等數學知識的初步滲透。教師從知識整體性的角度出發，將新知產生的必然性、發展性展現無余，學生在認識到比的價值的同時，看到了知識的萌發、生長與發展。

追問，是一種求知若渴的態度；追問，是一種嚴謹求真的精神；追問，是一種善于學習的能力。只有在不斷的追問中，我們才能逼近數學本質，接近科學真理；也只有在不斷的追問中，我們才能發展自我、超越自我、完善自我。