關注數學本質 組織有效操作活動

在一次數學“同課異構”課堂教學展評活動中，筆者聽了兩節“長方形的面積計算”課，感觸頗多，現就兩節課中關于長方形面積計算公式的推導過程，做一點比較與反思。

案例一

教師課前發給每個小組一個長3厘米、寬4厘米的長方形，以及若干個面積是1平方厘米的小正方形。教學時按照以下程序進行：

1.出示問題。

（1）用面積是1平方厘米的小正方形擺這個長3厘米、寬2厘米的長方形，需要多少個？所以這個長方形的面積是多少？

（2）長方形長3厘米，沿著長擺放，一排可以擺放多少個？沿寬呢？

2.學生操作，教師巡視指導。

3.匯報結果。

4.小組討論。

（1）長方形的面積與長、寬之間有什么關系？

（2）從這個關系中，你發現長方形的面積可以怎樣計算？

（學生討論后，教師總結，并板書公式。）

分析

在這個教學片段中，從表面上看，教學環節環環相扣、層層深入，學生經歷了操作——探究——討論——總結的過程，長方形的面積公式是通過學生的自主活動得到的，但從“學”的角度加以琢磨、研究，就不難發現，操作過程過于簡單，學生是為了完成教師預設的問題，教師是為了完成預設的教學過程，操作是草草收兵。縱觀學生的學習過程，教師沒有能夠凸現知識的本質，學生的體驗深度不夠，在發現問題、數學思考等方面未能得到很好的培養和鍛煉。

案例二

課前教師給每個小組發放三組長方形（長分別是3厘米、4厘米、7厘米，寬分別是2厘米、3厘米、4厘米），1平方厘米的小正方形8個。教學流程如下：

1.探索長3厘米、寬2厘米的長方形面積。

（1）學生操作。要求學生在這個長方形上擺小正方形，直到擺滿為止，提問：這個長方形的面積是多少？你是怎么知道的？

（2）匯報交流。

（3）教師板書。

2.探索長4厘米、寬3厘米的長方形面積。

（1）操作。在長4厘米、寬3厘米的長方形上擺小正方形，提問：這個長方形的面積是多少？你是怎么知道的？

（2）思考。小正方形不夠用，擺不滿，怎樣才能知道長方形的面積呢？

（3）交流。說一說你是怎樣擺放的？這個長方形的面積是多少？

3.探索長7厘米、寬4厘米的長方形面積。

（1）猜一猜。如果不用小正方形來擺放，這個長方形的面積是多少？

（2）說一說。這個長方形的長和寬分別是7厘米、4厘米，那么沿著長可以擺放多少個小正方形？沿寬呢？與長方形的長和寬有怎樣的聯系？

（3）想一想。除了擺放小正方形，還可以怎樣得到這個長方形的面積？

4.探索長方形的面積計算方法。

（1）思。通過剛才的擺放，你得到怎樣的啟示？

（2）議。對于任何一個長方形，沿長或寬擺放小正方形的個數與長度有怎樣的關系？你能得到怎樣的結論？

分析

《數學課程標準》中強調：數學學習要從學生已有的認知基礎出發，讓學生經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋與應用的過程。這就需要教師能對教材中的數學，從學生“學”的角度，在把握知識本質的同時進行二度開發，給學生廣闊的思考空間與體驗過程。在這個教學片段中，教師通過讓學生擺放1平方厘米的小正方形，探索三個長、寬不同的長方形的面積，在擺放過程中，引導學生發現問題：小正方形不夠怎么辦？如果沒有小正方形，又該如何知道長方形的面積？不用擺，怎樣知道需要小正方形的個數？等一系列問題，使得學生有了一個深刻的體驗過程，整堂課學生處于亢奮的學習狀態。在這里學生的操作不單單是動手，更重要的是在動手過程中，不斷發現問題、解決問題，不斷總結歸納。

通過上述兩個案例可以發現，在學習過程中，教師把學生當作“工程師”，還是完成指令的“操作工”，決定了操作活動的價值。如果操作僅僅是為了讓學生動手，沒有付出相應的智力代價，體驗就不深刻。就本節課而言，知識的本質不單純是讓學生掌握長方形的面積計算公式，更重要的是讓學生在操作過程中動手、動口、動腦，實現知識的再創造，從而建構新知體系。有效的操作，必須注意一下幾點：

一、突出數學本質

數學教學應突出概念背后以及解決問題過程中蘊含的數學文化、數學思想，突出對理性精神的不斷追問。數學學習不僅僅是讓學生獲得數學知識，更是學生以已有的生活經驗和知識基礎為起點，經過自己的思考，得出數學結論、建構數學知識。因而數學活動要有思維含量，要有利于實踐經驗的數學化。案例一中，由于活動簡單，學生的體驗顯得膚淺；案例二中，學生在大量感知的基礎上，不但建構了新知識體系，還獲得了解決問題的經驗。

二、創設體驗情境

真正的體驗是在一定的情境中進行的，是以學生現有的知識為基礎，層層深入、不斷強化的認知過程。《數學課程標準》提出了“經歷、感受、體會”等過程性目標，要求學生能真正經歷知識的發生、發展過程。在案例二中，教師創設了四個情境，前三個是在不同的要求下擺放小正方形，由擺滿到擺不滿，由直觀形象到抽象概括，讓學生進行充分體驗，在接觸大量感性材料的基礎上，討論、總結出長方形面積計算方法，實現了對新知的“再創造”，學生不僅知其然，而且知其所以然。

三、強化問題引領

愛因斯坦說過：提出問題比解決問題更重要。但問題的提出不應當是教師的專利，而應以學生現有知識基礎與生活經驗為背景，隨著學習活動的不斷深入，逐步生成。在案例二中，第一次學生有了擺放小正方形的經驗，第二次擺放小正方形，就會產生“小正方形不夠用，怎么擺放呢？怎樣才能知道長方形的面積呢？”等疑問，而這些正是形成長方形面積計算公式的關鍵所在。教師順勢引導，學生急于尋求問題的答案，會繼續操作學具，進而得出解題方案，新知建構便自然而然。