從美學(xué)角度賞析帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡

從美學(xué)角度看，帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡具有一定美感。本文旨在通過(guò)六個(gè)實(shí)例賞析帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡。

一、一顆紅心

例1：如圖1所示，MN為兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的分界面，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的關(guān)系為B1=2B2，一帶電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子從O點(diǎn)垂直MN進(jìn)入B1磁場(chǎng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間它將向下再一次通過(guò)O點(diǎn)？

分析：粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑r=，粒子在兩個(gè)磁場(chǎng)中半徑之比為1：2，畫出軌跡，如圖2所示。

根據(jù)周期求出時(shí)間。

解答：粒子垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，由洛倫茲力提供向心力，則根據(jù)牛頓第二定律得，得軌跡半徑r= ，周期。

根據(jù)條件，可知r1：r2=1：2。畫出軌跡，如圖2所示。

粒子在磁場(chǎng)B1中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T1，在磁場(chǎng)B2中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為T2，粒子向下再一次通過(guò)O點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間為t=T1+ T2=。

點(diǎn)評(píng)：由帶電粒子所形成的運(yùn)動(dòng)軌跡多像一顆紅心！

二、一片綠葉

例2：如圖3所示，紙面內(nèi)有寬為L(zhǎng)水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為m，電量為+q，速率為v0，不考慮粒子的重力及相互間的作用，要使粒子都匯聚到一點(diǎn)，可在粒子流的有側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，則磁場(chǎng)區(qū)域的形狀及對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是哪一種（其中B0=mv0/qL，A、C、D選項(xiàng)中曲線均為半徑是L的1/4圓弧，B選項(xiàng)中曲線為半徑是L/2的圓弧）？

分析：帶電粒子流水平向右飛入勻強(qiáng)磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，雖然位置不同，但速度大小、方向均相同，所以它們運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑相同。由于它們的圓弧長(zhǎng)度不同，所以飛行時(shí)間不同。

解答：如圖4所示，由于帶電粒子流的速度相同，所以A、B、C這三個(gè)選項(xiàng)中的磁場(chǎng)的軌跡對(duì)應(yīng)的半徑相同。因?yàn)镈選項(xiàng)的磁場(chǎng)是2B0，所以它的半徑是之前半徑的2倍。當(dāng)粒子射入B、C這兩個(gè)選項(xiàng)時(shí)，均不可能匯聚于同一點(diǎn)。雖然D選項(xiàng)粒子向上偏轉(zhuǎn)，但仍不能匯聚一點(diǎn)。所以，只有A選項(xiàng)能匯聚于一點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：由兩條弧線所圍成的磁場(chǎng)區(qū)域多像一片青翠欲滴的綠葉！

三、一朵鮮花

例3：如圖5所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r0。在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）？

分析：帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過(guò)狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過(guò)狹縫d。只要穿過(guò)d，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過(guò)c、b，再回到S點(diǎn)。

解答：帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示。設(shè)粒子射入磁場(chǎng)區(qū)的速度為v，根據(jù)動(dòng)能定理，有①。設(shè)粒子在洛倫茲力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力提供向心力得②。由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到b必須經(jīng)過(guò)3/4圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r0，即R=r0③。由①②③，解得。

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了帶電粒子的周期性。粒子的軌跡多像一朵盛開的鮮花！

四、一個(gè)啞鈴

例4：如圖7所示，在真空中，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，在此區(qū)域外圍空間有垂直紙面向內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小也為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一個(gè)帶電粒子從邊界上的P點(diǎn)沿半徑向外，以速度v0進(jìn)入外圍磁場(chǎng)，已知帶電粒子質(zhì)量m=2×10-10kg，帶電荷量q=+5×10-6C，不計(jì)重力，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，粒子運(yùn)動(dòng)速度v0=5×103m/s，圓形區(qū)域半徑r=0.2m，試畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡并求粒子第一次回到P點(diǎn)所需的時(shí)間（結(jié)果用π表示）。

分析：粒子從P點(diǎn)出發(fā)，在洛倫茲力的作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)3/4周期進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域。繼續(xù)在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最終將從原方向經(jīng)過(guò)P點(diǎn)。

解析：首先，由洛倫茲力提供向心力有：，解得：r=0.2m=R，軌跡如圖8所示。

其次，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T==8π×10-5s粒子的軌跡組合起來(lái)，正好為2個(gè)圓周，則粒子第一次回到P點(diǎn)所需時(shí)間為t=2T=16π×10-5s。

點(diǎn)評(píng)：粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡真的很像一個(gè)啞鈴！

五、 一顆明星

例5：如圖9所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為+q的正離子，從A點(diǎn)正對(duì)著圓心O以速度v0射入半徑為R的絕緣圓筒中。圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞多次后仍從A點(diǎn)射出，求正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間t（設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電荷量損失，不計(jì)粒子的重力）。

分析：由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無(wú)能量損失和電荷量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運(yùn)動(dòng)的軌跡是對(duì)稱的，如圖10所示。設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞n次（n≥2），則每相鄰兩次碰撞點(diǎn)之間圓弧所對(duì)的圓心角為2π/（n+1）。

由幾何知識(shí)可知，離子運(yùn)動(dòng)的半徑為，離子運(yùn)動(dòng)的周期為，又因?yàn)椋噪x子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為。

最短時(shí)間的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖10所示，每相鄰兩次碰撞點(diǎn)之間圓弧所對(duì)的圓心角為120°，由幾何知識(shí)可知，離子運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=Rtan60°=R，運(yùn)動(dòng)的周期為：。又因，所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為。

點(diǎn)評(píng)：粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是閃閃發(fā)光的三角星、四角星、五角星和多角星。

六、一串露珠

例6：在xoy坐標(biāo)系內(nèi)存在周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電場(chǎng)沿y軸正方向；磁場(chǎng)垂直紙面（以向里為正），電場(chǎng)和磁場(chǎng)的變化規(guī)律如圖11所示。一帶負(fù)電粒子質(zhì)量m=3.2×10-13kg，電荷量q=1.6×10-10C，在t=0時(shí)刻，以V0=8m/s的速度沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，不計(jì)粒子重力。求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期；當(dāng)t=24×10-3s時(shí)，求粒子在坐標(biāo)系內(nèi)的位置坐標(biāo)。

分析：粒子在電場(chǎng)中由于受到與速度方向垂直的電場(chǎng)力的作用而作類平拋運(yùn)動(dòng)，在4×10-3s至8×10-3s的時(shí)間內(nèi)，粒子將處在磁場(chǎng)中，受洛倫茲力而作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，剛好運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期。后以同方向進(jìn)入電場(chǎng)繼續(xù)作類平拋運(yùn)動(dòng)，接著進(jìn)入磁場(chǎng)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖12所示。

解析：首先，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，得，

得軌跡半徑r=，周期，帶入數(shù)據(jù)解得：T=4×10-3s。

其次，t=24×10-3s時(shí)，粒子在坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動(dòng)了三段類平拋運(yùn)動(dòng)和三個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)。

水平方向的位移x=3v0T=9.6×10-2m，豎直方向的位移y=a（3T）2。

由于在電場(chǎng)中，qE=ma，帶入數(shù)據(jù)的y=3.6×10-2m，所以，當(dāng)t=24×10-3s時(shí)，粒子在坐標(biāo)系內(nèi)的位置坐標(biāo)為（9.6×10-2m，-3.6×10-2m）。

點(diǎn)評(píng)：粒子在電磁場(chǎng)中的軌跡多像清晨草葉上的一串露珠！

帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡美是普遍現(xiàn)象，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生善于將物理與生活相聯(lián)系，從美學(xué)角度看待物理問(wèn)題，以增強(qiáng)學(xué)習(xí)物理的樂(lè)趣。

（作者單位：山東省壽光市壽光中學(xué)）

（責(zé)任編輯：梁金）