“乘法分配律”教學(xué)中的“正例”與“反例”運(yùn)用

“乘法分配律”是北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容，它是在學(xué)生已學(xué)習(xí)并掌握了“乘法交換律”和“乘法結(jié)合律”，并初步應(yīng)用這些定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的基礎(chǔ)上展開教學(xué)。在這一單元的教學(xué)中，“乘法分配律”既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)——它不僅是單一的乘法運(yùn)算，更涉及加減法運(yùn)算。因此，學(xué)好乘法分配律既可提高學(xué)生的計(jì)算能力，又為學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算提供前提和依據(jù)。

一、追根溯源

“乘法分配律”的基本定義是：兩個(gè)數(shù)的和（或差）與一個(gè)數(shù)相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同兩個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加（或相減），結(jié)果不變。“乘法分配律”的基本表達(dá)式用字母表示為：（a+b）c=ac+bc或者a（b+c）=ab+ac。在運(yùn)用“乘法分配律”的過程中，有正向運(yùn)用和逆向運(yùn)用兩種方式（如表1所示）。

學(xué)生在運(yùn)用“乘法分配律”進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常出錯(cuò)，其錯(cuò)誤主要包括三種：一是運(yùn)用“乘法分配律”時(shí)漏乘。例如：25×404 =25×400+4。二是缺項(xiàng)時(shí)不知如何運(yùn)用“乘法分配律”。例如：15×99+15，學(xué)生看不出可以運(yùn)用“乘法分配律”進(jìn)行運(yùn)算。三是在比較復(fù)雜的運(yùn)算中不知如何運(yùn)用“乘法分配律”。例如：8.2×3.3+8.2×4.7+8.2×2，學(xué)生看不出可運(yùn)用“乘法分配律”，便使用原始算法。雖然三種錯(cuò)誤的表現(xiàn)形式不同，但出現(xiàn)錯(cuò)誤的根本原因在于：對(duì)“乘法分配律”這一概念的理解存在問題。

二、“乘法分配律”教學(xué)中“正例”和“反例”的應(yīng)用

在“乘法分配律”這一內(nèi)容的教學(xué)中，教師不僅應(yīng)提供標(biāo)準(zhǔn)“正例”，更應(yīng)充分運(yùn)用“非標(biāo)準(zhǔn)正例”和“反例”，以使概念的教學(xué)過程更有層次感，從而提高學(xué)生對(duì)概念的掌握水平。

1.通過直觀、具體的“正例”，引入概念

許多抽象的數(shù)學(xué)概念來源于直觀、具體的現(xiàn)實(shí)世界，因此，為了更好地引入概念，可先讓學(xué)生獲得直觀、具體的經(jīng)驗(yàn)，使他們建立抽象概念和感性經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系。

在“乘法分配律”的教學(xué)中，概念的定義比較抽象，學(xué)生不易理解。為了解決這一問題，教師可將學(xué)生熟悉的直觀、具體的生活經(jīng)驗(yàn)引入新課教學(xué)。例如：學(xué)校為學(xué)生訂購(gòu)秋季校服，一件上衣45元，一條褲子35元，四年級(jí)共需訂購(gòu)20套，要付多少元？通過這一情境，學(xué)生很快列出算式：（45+35）×20或者45×20+35×20。接著，教師可讓學(xué)生觀察這兩個(gè)算式的異同。于是，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)：這兩個(gè)算式雖列法不同，但表示的意義相同，算出的結(jié)果相同。然后，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際，列舉大量類似的例子。

在“乘法分配律”概念的引入階段，教師采用具體、直觀的“正例”，旨在幫助學(xué)生建立感性經(jīng)驗(yàn)和抽象概念之間的聯(lián)系。由于數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是抽象的，因此，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生盡可能抽離具體、直觀的背景，使概念上升到抽象的水平。這樣，教師在充分結(jié)合學(xué)生感性經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“乘法分配律”的概念。

2.通過“非標(biāo)準(zhǔn)正例”，突出概念的本質(zhì)屬性

“乘法分配律N8XFqewA3nxQ2uuEExDU5A==”是簡(jiǎn)便運(yùn)算中的一個(gè)難點(diǎn)，由于在實(shí)際應(yīng)用中富于變化，所以需要學(xué)生靈活變通地掌握。因此，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)采用多樣的“非標(biāo)準(zhǔn)正例”，以加深學(xué)生對(duì)“乘法分配律”這一概念的理解和掌握。

例如，教師可列舉四個(gè)“正例”：

99×77和100×77-77；

101×35和100×35+35；

99×98+99+99和99×（98+1+1）；

102×87-87×2和（102-2）×87。

在教學(xué)“乘法分配律”這一概念時(shí)，教師通過充分引入“非標(biāo)準(zhǔn)正例”，以變換概念的非本質(zhì)屬性，從而突出其本質(zhì)屬性。于是，學(xué)生在學(xué)會(huì)剔除概念的非本質(zhì)屬性的同時(shí)，逐漸掌握了“乘法分配律”這一概念的本質(zhì)屬性。

3.通過“反例”，幫助學(xué)生辨別錯(cuò)誤

在“乘法分配律”這一內(nèi)容的教學(xué)中，教師恰當(dāng)使用“反例”，可讓學(xué)生在對(duì)比中更加清晰、深刻地認(rèn)識(shí)“乘法分配律”這一概念的內(nèi)涵。

例如，教師可列舉三個(gè)“反例”：

25×404和25×400+4；

102×78-2和10×78-2×78；

8.2x3.3+8.2x4.7+8.2x2和8.2×8+8.2。

通過這幾組反例的呈現(xiàn)，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“乘法分配律”的本質(zhì)意義理解左右兩個(gè)算式之間的差別，從而認(rèn)識(shí)到二者并非等值。“正例”與“反例”相結(jié)合，有助學(xué)生從不同角度思考“乘法分配律”的本質(zhì)屬性，進(jìn)而有效避免錯(cuò)誤的出現(xiàn)。

三、教學(xué)反思

在“乘法分配律”這一內(nèi)容的教學(xué)中，教師通過一個(gè)制作校服的“正例”，引導(dǎo)學(xué)生掌握“乘法分配律”的基本表達(dá)式；接著，運(yùn)用多組“非標(biāo)準(zhǔn)正例”，體現(xiàn)“乘法分配律”這一概念的非本質(zhì)屬性，以加深學(xué)生對(duì)這一概念本質(zhì)屬性的理解；最后，教師通過幾組“反例”，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)幾種常見錯(cuò)誤，以使學(xué)生靈活掌握“乘法分配律”這一概念。

在“乘法分配律”這一內(nèi)容的教學(xué)中，教師通過使用“正例”“非標(biāo)準(zhǔn)正例”和“反例”，既排除背景干擾，又突出概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生從不同角度理解和掌握“乘法分配律”的概念和基本表達(dá)式。可見，在課堂教學(xué)中合理地運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)“正例”“非標(biāo)準(zhǔn)正例”和“反例”，能更好地揭示概念的基本屬性，真正達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。

（作者單位：北京市海淀區(qū)臺(tái)頭小學(xué)）

（責(zé)任編輯：萬馳 梁金）