“變異理論”在“圖形的旋轉”教學中的應用

“變異理論”是世界著名教學論專家、瑞典哥德堡大學教授馬飛龍基于傳統遷移理論所創立的一套教學理論，那么，這一理論對于小學數學教學具有怎樣的意義呢？本文旨在以“圖形的旋轉”這一內容為例，淺析“變異理論”在三次教學設計中的意義。

一、第一次課：實施與反思

“圖形的旋轉”是北師大版數學實驗教材四年級上冊的內容，它建立在三年級下冊物體的“平移”和“旋轉”的基礎之上，主要體現“旋轉”的理念與思想，是傳統教材沒有涉及的內容。在分析教學內容和了解學生的知識基礎后，我設計了三個教學步驟：一是通過欣賞旋轉圖形，導入新課內容，旨在激發學生的學習興趣，調動課堂氣氛；二是要求學生仔細觀察旋轉圖形，讓學生自主發現并感受圖形“旋轉”的三要素（中心點、旋轉方向和旋轉角度）；三是讓學生根據要求，自主設計旋轉圖形。

首先，我向學生展示幾個色彩鮮艷、形狀別致的旋轉圖形，學生既感嘆旋轉圖形之美，又對旋轉圖形的特點和制作方法充滿好奇。這樣，新課內容的導入順利完成。其次，我要求學生仔細觀察、認真思考和積極討論。（問題：這些旋轉圖形是用什么方法設計出來的？）同時，我運用多媒體課件，配合學生的不同思路。接著，學生說出了制作旋轉圖形的三要素（“每一次旋轉的中心點不變”“每一次旋轉的方向不變”和“每一次旋轉的角度相同”）。然后，我充分肯定學生的課堂發現，并強化學生對旋轉圖形三要素的認識。最后，我請學生根據要求，親手制作旋轉圖形，學生興高采烈地嘗試。

總體來說，這節課的教學過程比較流暢，教學目標基本順利達成，獲得了預期的教學效果。不過，我注意到，班里一些基礎較薄弱的學生沒有很好地掌握教學內容。例如：有的學生在親手設計旋轉圖形時，比較茫然，無從下手；有的學生雖然簡單地畫了幾筆，但也只是對已有實例的模仿。在被問到設計思路時，他們無法說清。可見，部分學生既不明白旋轉圖形三要素的由來，也不理解畫圖時遵循旋轉圖形三要素的必要性。因此，這節課的教學目標并沒有真正實現。那么，怎樣才能讓學生掌握“圖形的旋轉”這一頗具趣味性的教學內容呢？

二、第二次課：調整與收獲

通過參與“變異理論”的教學實踐研究，尤其是借助“變異理論”中關于“正例”“反例”和“非標準正例”進行分析之后，我發現了未能真正實現教學目標的關鍵因素。

“變異理論”主張在概念教學中采用“正例”“反例”和“非標準正例”進行分析，并注重“正例”“反例”和“非標準正例”在學生形成概念的過程中所起的作用。“正例”即具備概念所有相關屬性的例子；“反例”即缺乏概念一個或多個相關屬性的例子。就“圖形的旋轉”這一內容來說，直接關系到“變異理論”的一個主要觀點，即“正例”與“反例”的配合使用。

通過再次反思教學設計和教學過程，我發現了導致學生不能深入把握旋轉圖形三要素的原因，即在觀察、討論環節中，雖然學生在我的引導下發現了旋轉圖形的三要素，但一些學生并未真正理解它們的重要作用，導致親自動手旋轉圖形時出現障礙。而通過“變異理論”，可利用“反例”以及“正例”與“反例”的對比，使學生拓展思維，在對比中加深認識。

據此，我及時對教學設計進行調整。即在第三個環節中，針對旋轉圖形的三要素專門設計“反例”，以使學生深刻理解旋轉圖形三要素的重要作用。于是，在第二次教學中，我演示了增加的“反例”（如圖1、圖2和圖3所示）。

通過“正例”與“反例”的對比，學生能非常形象地觀察到，一旦改變旋轉的中心點、旋轉方向或旋轉角度，便無法完成美麗的旋轉圖形。在“正例”與“反例”的逐一對照下，我引導學生進行觀察。為了讓學生積極思考，我設置了三個問題：其一，旋轉的中心點固定后，如果旋轉方向和角度不固定會形成怎樣的圖形？其二，旋轉方向固定后，如果中心點和旋轉角度不固定會形成怎樣的圖形？其三，旋轉角度固定后，如果中心點和旋轉方向不固定會形成怎樣的圖形？于是，學生認識到：旋轉的中心點、旋轉方向和旋轉角度，三者對于制作旋轉圖形缺一不可。實踐證明，在教學中增加“反例”對學生理解旋轉圖形的三要素具有積極作用。最終，這次教學取得了意想不到的效果：一是學生對旋轉過程的表達更加清晰且有條理；二是全班學生都能設計出比較漂亮的旋轉圖形。的確，在教學設計中適當增加“反例”，加強“正例”與“反例”的對比，能讓學生更準確、深刻地理解旋轉圖形的基本屬性，有效拓展學生的思維，彌補僅僅出示“正例”的不足。

三、第三次課：設想與期待

在“變異理論”教學實踐研究的又一次討論中，課題組專家給我的教學提出建議：現在的三個“反例”是在旋轉圖形三要素教學基本完成之后一次性出現的，是否可考慮“反例”出現的次序，例如在講解旋轉圖形的三要素時分別插入相應的“反例”，以使學生更準確地把握旋轉圖形三要素的重要作用。

由此，我聯想到“變異理論”對“正例”和“反例”的呈現順序也有研究，即“按照例子的類型”和“按照例子的特征”。“按照例子的類型”，即先呈現所有“正例”，再呈現所有“反例”；或先呈現所有“反例”，再呈現所有“正例”。“按例子的特征”，即基于例子本身的屬性和例子之間的關系呈現“正例”與“反例”。研究表明，“按照例子的特征”呈現“正例”與“反例”的教學效果更好。

在進一步反思中，我有了新的設想，就是將“反例”分三次呈現：其一，在討論中心點不變的要素時，呈現改變中心點的“反例”；其二，在討論旋轉方向不變的要素時，呈現改變旋轉方向的“反例”；其三，在討論旋轉角度不變的要素時，呈現改變旋轉角度的“反例”。實踐證明，將“反例”分三次呈現，不僅使教學具有層次感，更便于學生比較和對照，最終清晰地理解和運用數學知識。

通過對一節課的認真研究，我對“變異理論”有了深刻的認識。它使我悟出：在課堂教學中運用例子并不是一件簡單的事。只有合理地選擇、設計“正例”與“反例”，將“正例”與“反例”結合運用，既拓展學生的認知范圍，又促進學生理解和運用所學知識，才能真正實現知識的有效遷移。

（作者單位：北京市海淀區紅星小學）

（責任編輯：萬馳 梁金）